Wann gilt kleiner gleich

Hallo ihr Lieben,
mir fallen Induktionen noch immer schwer. Mittlerweile kann ich sie ja teilweise, aber folgende bringen mich noch immer zum Aufgeben:

(Ich hoffe ihr könnt mir helfen, sie zu lösen)

Für n∈N0 sei 0!:=1, 1!:=1, n!:=1*2*...*n. Zeigen Sie, dass für alle n,k∈N0 mit n≥k gilt.

n!≥ k!(k+1)n−k

UND:

Zeigen Sie, dass n 2≤2n für alle natürlichen Zahlen n≠3.

Oh gott, ja sorry ... hab ich nicht reingeschrieben.

Habs nun oben in der Aufgabe ergänzt, hoffe du kannst mir vielleicht weiterhelfen.

LG LL

ein schönes Bildchen mit den Funktionen erst mal, damit man sieht, worum es geht:

Also los gehts:
n2≤2n
n2=2n
2⋅log2 (n)=n⋅log22
2⋅l og2(n)=n
1n ⋅log2(n)=12
l og2(n)1n=12
(n)1n=212
womit ein Schnittpunkt schon mal offensichtlich wäre. Der zweite ergibt sich durch quadrieren der Gleichung:
(n)2n=222
(n)2n=2
Da es eine sogenannte transzendentale Gleichung ist, wäre man jetzt eigentlich am Ende...aber bei kleinen ganzen Zahlen darf man auch mal ein wenig probieren: Dank der Zeichnung können wir es mal mit x=4 testen:
(4)24=2
(4 )12=2
4=2
Na, hammwajagleichmaglückjehabt...

Die Schnittpunkte sind also bei x=2 und x=4.
Jetzt kommt die Fallunterscheidung:
1. x<2
2. x=2
3. 2<x<4
4. x=4
5. x>4

und das machst Du jetzt selbst weiter...

Hallo,
klasse, vielen Dank für die Mühe.
Ich probier das nun mal weiter und bei Fragen melde ich mich morgen nochmal.
Wird jetzt wahrscheinlich nicht mehr sehr produktiv bei mir werden :)

So okay, neuerTag neuer Versuch.
Irgendwie find ich sieht das ganze so Induktions untypisch aus?
Entweder steh ich total auf dem Schlauch oder ich kanns einfach nicht.

Wieso brauch ich Schnittpunkt usw.?

wenn man die Ungleichung n2≤2n mit vollständiger Induktion beweisen will, braucht man zunächst einen Induktionsanfang: Die Ungleichung gilt (vgl. Aufgabenstellung) für n=1, n=2,n=4. Also versuchen wir die Aussage für n≥4 mit Induktion zu beweisen. Induktionsanfang (n=4) ist ok

Induktionsschritt, zeige: Für n≥4:n2≤2n ⇒(n+1)2≤2n+1

Man fängt z.B. an:

(n+1)2=n2+2⋅n+1≤2n+2⋅n+1 (unter Benutzung der Induktionsvoraussetzung.

Wenn man jetzt auf das Ziel schaut, braucht man die Ungleichung

2⋅n+1≤n2(≤2n, wegen der Induktionsvoraussetzung)

diese kann man durch quadratische Ergänzung zeigen für n≥3.

Gruß pwm

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