2 gleich zahlen

Auf dieser Seite werden die Summenformeln einmal "naiv" (durch geeignetes Hinschreiben) hergeleitet und durch vollst�ndige Induktion bewiesen.

Summe 1 + 2 + 3 + ... + n

Von kleinen Carl Friedrich Gau� ist die Anekdote �berliefert, da� er seinen Dorfschullehrer, der die Gruppe der Kleinen f�r geraume Zeit besch�ftigen wollte, indem er sie die Summe der Zahlen von eins bis hundert ausrechnen lie�, �berraschte. Nach wenigen Augenblicken hatte Carl Friedrich die richtige L�sung parat. Ihm mu� aufgefallen sein, da� man die Zahlen sinnvoll paaren kann: Die erste mit der letzten, die zweite mit der vorletzten � immer ergibt sich dieselbe Summe, n�mlich 100+1 (allgemein n+1). Da es 50 (allgemein n/2) solcher Paare gibt, mu�te die Summe (101)�50 sein.

1  +   100  = 1012  +   99  = 1013  +   98  = 1014  +   97  = 101������     ���������     ���49  +   52  = 10150  +   51  = 1015050

Der kleine Gau� hatte damit die Summenformel entdeckt:

Die Formel gilt auch f�r ungerade n. Die mittlere Zahl hat keinen Partner bei der Paarbildung. Man bildet also (n-1)/2 Paare mit der jeweiligen Summe (n+1), addiert die mittlere Zahl (n+1)/2 und kommt so ebenfalls auf diese Summenformel:

Beweis durch vollst�ndige Induktion

Das Beweisverfahren der vollst�ndigen Induktion kann man ein wenig mit dem vollst�ndigen Umfallen einer (unendlich langen) Reihe von Dominosteinen vergleichen. Damit eine solche Reihe ohne Abbruch umf�llt, m�ssen im Grunde zwei Bedingungen erf�llt sein:

Bei der vollst�ndigen Induktion von Aussagen, deren Definitionsmenge die Menge der nat�rlichen Zahlen ist, ist es ganz �hnlich. Das Umfallen eines bestimmten Dominosteins entspricht hier der G�ltigkeit der Aussage f�r eine bestimmte nat�rliche Zahl:

Wir bezeichnen die Summe der nat�rlichen Zahlen von 1 bis n mit S(n) und versuchen zu beweisen, da� S(n) = ½�n�(n+1) f�r alle n ∈ N ist.

Bedingung (1), die man auch Induktionsanfang nennt, ist schnell abgehakt. Wir berechnen die Summe der nat�rlichen Zahlen bis 1, die nat�rlich 1 ist, nach der Formel: S(1) = ½�1�(1+1) = ½�1�2 = 1. Stimmt.

F�r Bedingung (2), die man auch Induktionsschritt nennt, nehmen wir an, die Aussage gelte f�r beliebige n, d.h. S(n) = ½�n�(n+1) und S(n+1) = ½�(n+1)�(n+1+1) = ½�(n+1)�(n+2) seien korrekt.

Nun kann man die Summe der nat�rlichen Zahlen bis n+1, also S(n+1), auch berechnen, indem man die Summe der nat�rlichen Zahlen bis n nimmt und die n�chste Zahl n+1 addiert. Man kann also S(n+1) als S(n)+n+1 schreiben. Das ist sicher richtig, wenn S(n) die richtige Summe bis n angibt, und das nehmen wir ja an.

Wenn man jetzt nachweisen kann, da� S(n)+n+1 identisch mit S(n+1) nach der Formel ist, ist die Bedingung (2) erf�llt:

               n(n+1)
S(n) + n+1 =  ������� + n+1                     
                 2

               n� + n + 2n + 2
           =  �����������������
                      2

               (n+1)(n+2)
           =  ������������             =  S(n+1)   J
                   2

Damit impliziert die Richtigkeit von S(n) die Richtigkeit von S(n+1), womit die Aussage f�r alle nat�rlichen Zahlen n ≥ 1 bewiesen ist.

                                  n�(n + 1)
   1 + 2 + 3 + 4 + ... + n   =   �����������   
                                      2        

Die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n�

Leider kann man die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36, usw. nicht so sch�n paaren wie die nat�rlichen Zahlen, so da� die Summenformel nicht so ohne weiteres naiv gefunden werden kann. (Es ist mir jedenfalls nicht bekannt, da� der kleinen Gau� auch diese Formel aus dem �rmel gesch�ttelt h�tte...)

Zun�chst betrachten wir die Differenzen aufeinander folgender Quadratzahlen:

Da� die Differenzen die l�ckenlose Menge der (positiven) ungeraden Zahlen bilden, ist schnell bewiesen. Man vereinfacht den Term f�r die allgemeine Differenz zwischen der Quadratzahl n� und ihrem Vorg�nger (n-1)�:
     n� - (n-1)� = n� - (n� - 2n + 1) = n� - n� + 2n - 1 = 2n - 1
und erh�lt 2n-1 als Differenz zwischen (n-1)� und n�.
Der Term  2n-1 liefert f�r n∈N genau die Menge der (positiven) ungeraden Zahlen.

Nun kann man die Quadratzahl n� auch als Summe der Differenzen bis n� schreiben. 7� = 49 ist beispielsweise gleich 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13.

n� ist damit darstellbar als 1 + 3 + 5 + ... + 2n-1.

Mit diesem Wissen lassen sich die Quadratzahlen schon etwas "linearer" aufschreiben. Die Summe der Quadratzahlen bis 5� w�re damit die Summe dieser Zahlen:

                        9
                   7    7
              5    5    5
         3    3    3    3
    1    1    1    1    1

   ���  ���  ���  ���  ���
   =1�  =2�  =3�  =4�  =5�

Offensichtlich befinden sich 1+2+3+4+5 Zahlen in diesem Dreieck. Die Anzahl der Zahlen in dem Dreieck f�r n� ist also die Summe der nat�rlichen Zahlen von 1 bis n: S(n), deren Formel wir oben bereits bewiesen haben.

Nun kann man leider die Zahlen im Dreieck immer noch nicht so sch�n paarweise anordnen wie die oben.

Mit folgendem Trick kommt man aber weiter. Wir ordnen die Zahlen zweimal anders an und addieren sie stellenweise auf das urspr�ngliche Dreieck. Die Summe der Zahlen in dem Dreieck, das man dadurch erh�lt, ist dann das Dreifache der gefragten Quadratsumme.

Zun�chst verschieben wir die Spalten im Dreieck so, da� das Dreieck sch�n symmetrisch wird:

       9
      7 7
     5 5 5
    3 3 3 3
   1 1 1 1 1

Nun spiegeln wir die Zahlen einmal an der Seitenhalbierenden von rechts unten nach links oben und einmal an der anderen Achse:

               1                          1
              3 1                        1 3
             5 3 1                      1 3 5
            7 5 3 1                    1 3 5 7
           9 7 5 3 1                  1 3 5 7 9

Addiert man nun stellenweise die Zahlen der drei Dreiecke, erh�lt man

Wow!

Da� stets, d.h. in allen verdreifachten Quadratsummendreieck, �berall nur gleiche Zahlen stehen, wird im Anhang (siehe unten) bewiesen. Hier interessiert zun�chst nur, welche Zahl es ist. Betrachten wir dazu die Zahl an der Spitze. Sie ist im Beispiel die Summe aus 1+1+9. Die 9 ist die h�chste Differenz in der Darstellung von n�, die, wie wir oben gesehen hatten, gleich 2n-1 ist.
Die zwei Einsen dazu, und man erh�lt 2n+1. Tats�chlich ergibt das f�r n=5 die 11.

Wir erinnern uns nun, wieviel Zahlen im Dreieck stehen, oder z�hlen sicherheitshalber nochmal nach: Es sind 1+2+3+4+5 Elfen, also S(n) St�ck.

Das allgemeine verdreifachte Dreieck besteht also aus der n(n+1)/2 mal auftretenden Zahl 2n+1, bzw. aus S(n) mal (2n+1).

Nun hatten wir schon bemerkt, da� dies das Dreifache der gefragten Quadratsumme ist, womit man S(n)�(2n+1) einfach durch 3 teilen mu�, um die Quadratsummenformel zu erhalten:

   S(n)�(2n+1)      n(n+1)�(2n+1)      n(n+1)(2n+1)
  ������������  =  ��������������  =  �������������
        3              2 �  3               6

Dies ist die Formel f�r die Summe der Quadratzahlen 1�+2�+3�+...n�.

Induktion

Auch hier noch der Beweis durch vollst�ndige Induktion. Wir bezeichnen die "angebliche" Summe der Quadratzahlen 1�+2�+...+n�, wie sie die Formel zu liefern scheint, mit Q(n).

(1): Wir rechnen aus, da� Q(1) die Summe der Quadrate bis 1� ist: Q(1) = 1�2�3/6 = 1. Stimmt.

(2): Sei Q(n) richtig. Dann w�re Q(n+1) = (n+1)(n+2)(2(n+1)+1)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6

Wenn Q(n) die Summe der Quadratzahlen bis n� ist, ist Q(n)+(n+1)� sicherlich die Summe der Quadratzahlen bis (n+1)�. Wir weisen nach, da� Q(n)+(n+1)� = Q(n+1) ist:

                 n(n+1)(2n+1)          
Q(n)+(n+1)�  =  ������������� + (n+1)� 
                      6                

                 2n� + 3n� + n     6n� + 12n + 6
             =  ��������������� + ���������������
                       6                 6

                 2n� + 9n� + 13n + 6
             =  ���������������������
                          6 


                 (n+1)(n+2)(2n+3)
    Q(n+1)   =  �����������������            (siehe oben)
                         6

                 2n� + 9n� + 13n + 6
             =  ���������������������
                          6

Damit ist die Formel bewiesen.

                                       n�(n + 1)�(2n + 1)
   1� + 2� + 3� + 4� + ... + n�   =   �������������������   
                                               6           

© Arndt Br�nner, 9. 10. 2004
Version: 1. 10. 2006
→ Summenformeln bis n10
→ Beweis f�r die Summe der Kubikzahlen

Anhang

Beweis, da� im dreifachen Differenzendreieck an allen Stellen 2n+1 steht.

Wir numerieren die Zeilen der Differenzendreiecke von unten nach oben mit i (1 ≤ i ≤ n) und die Stelle innerhalb der Zeile mit j. Die Zahl in der i. Zeile an der j. Stelle nennen wir z(i,j).

                     9
                    7 7
                   5 5 5
                  3 3 3 3
                 1 1 1 1 1

Die beiden gespiegelten Dreiecke z'(i,j) und z"(i,j) betrachten wir gemeinsam, vor allem in Hinblick auf ihre Summe. Durch die Symmetrie dieser Dreiecke erh�lt man beim Addieren in jeder Zeile identische Zahlen, n�mlich 1 plus die gr��te Zahl in der Zeile. Die gr��te Zahl h�ngt von der Zeile i und von n ab. In der obersten Zeile ist es 2n-1. Da wir die Zeilen von unten bis oben numerieren, k�nnen wir leider nicht 2i-1 nehmen, denn das w�re im Beispiel f�r die oberste Zeile nicht 1, sondern 9. Wir m�ssen i durch n+1-i ersetzen, so da� wir beispielsweise in der untersten Zeile statt mit i=1 mit n rechnen und in der obersten statt mit i=5 richtig mit 5+1-5=1.

In der i. Zeile steht also �berall 2(n+1-i)-1 plus 1, also z'(i,j)+z"(i,j) = 2n-2i+2. Auch diese Zahlen h�ngen nicht mehr von der Spaltennummer ab.

Was ist die Potenz von 2?

Welche Zahl ist 2?

Was ergibt Quadriert 2?

Welche Zahl ist ein Palindrome?