Berechnen sie den abstand der punkte a und b

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade. Der Abstand zwischen zwei Punkten im Raum lässt sich einfach über den Satz des Pythagoras berechnen, wie wir in diesem Artikel sehen werden.

Definition

Der Abstand d zwischen zwei Punkten A(x1, y1) und B(x2, y2) wird berechnet durch folgende Formel:

In manchen Büchern und Formelsammlungen wird die Reihenfolge der Punkte vertauscht:

Geometrische Betrachtung 

Der Abstand oder die Distanz d zwischen zwei Punkten ist in einem kartesischen Koordinatensystem immer eine Gerade. Wie man in der Animation rechts sehen kann, ist es möglich, diese Länge über den Satz des Pythagoras zu berechnen. Man kann sich die beiden Punkte als Ecken eines Dreiecks vorstellen. Zieht man eine horizontale beziehungsweise vertikale Linie von diesen beiden Punkten aus, so ist der dritte Punkt dort, wo sich beide Linien treffen. Der Winkel den dieser dritte Punkt einschließt, beträgt 90°. Somit haben wir mit zwei Punkten ein rechtwinkliges Dreieck eindeutig bestimmt.

Die gesuchte Strecke zwischen beiden Punkten ist die längste Seite des Dreiecks, die Hypotenuse. (Im Euklidischen Raum ist dies auch gleichzeitig die kürzeste mögliche Distanz zwischen zwei Punkten.) Sie lässt sich einfach durch die Längen der beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln.

Beispiel

Bestimme die Distanz zwischen folgenden Punkten P1(5; 3) und P2(9; -4).

Durch Einsetzen in die Formel erhalten wir:

Weitere Literaturempfehlungen zum Thema

1. Maor, E. (2007). The Pythagorean theorem: A 4,000-year history. Princeton, N.J.: Princeton University Press.
2. Posamentier, A. S. (2010). The Pythagorean theorem: The story of its power and beauty. Amherst, N.Y.: Prometheus Books.
3. Wolf, C. (2013). Mathe an Stationen Satz des Pythagoras: Übungsmaterial zu den Kernthemen der Bildungsstandards (7. bis 10. Klasse) (1. Aufl.). Hamburg: Auer Verlag.

Abstand zweier Punkte einfach erklärt

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(00:10)

Der Abstand zwischen zwei Punkten im Raum entspricht der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen den Punkten, also eine gerade Linie. Hier siehst du die beiden Formeln für die Ebene und den Raum:

Formeln

2 Dimensionen

Liegen die beiden Punkte auf einer Ebene, also im zweidimensionalen Raum, dann beträgt der Abstand

3 Dimensionen

Im dreidimensionalen Raum erweitert man die Formel einfach um die z-Koordinaten der Punkte. Die Distanz zwischen

Abstand zweier Punkte berechnen

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(00:47)

Als nächstes wollen wir in zwei Beispielen ausführlich vorrechnen, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet. Das machen wir sowohl für Punkte, die in einer zweidimensionalen Ebene liegen als auch für solche, die sich in einem dreidimensionalen Raum befinden.

Beispielaufgabe 1:

Wir suchen den Abstand

Um diese Aufgabe zu lösen, benötigen wir die Formel für zwei Dimensionen, denn die einzelnen Punkte haben zwei Koordinaten. Sie setzen wir in die 2D-Formel für den Abstand ein. Anschließend rechnen wir erst die Klammern aus und quadrieren sie. Danach bilden wir die Summe dieser Quadrate und ziehen zum Schluss die Wurzel.

Für den Abstand von Punkt

Beispielaufgabe 2 

Wir suchen den Abstand

Bei dieser Aufgabe befinden wir uns in einem dreidimensionalen Raum, denn jeder Punkt besitzt drei Koordinaten. Zur Lösung brauchen wir also die 3D-Formel für den Abstand Punkt Punkt. Nach dem Einsetzen der Koordinaten ziehen wir diese wiederum paarweise voneinander ab und quadrieren die Ergebnisse. Zum Schluss addieren wir alle Quadrate und ziehen die Wurzel aus der Summe.

Der Abstand zwischen Punkt

Abstandsrechnungen in der Geometrie

In der Geometrie kannst du nicht nur den Abstand zweier Punkte berechnen, sondern auch Abstände zwischen anderen und verschiedenen Formen. Zum Glück haben wir zu all diesen Themen eigene Beiträge für dich:

• Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden (Abstand Punkt Gerade )
• Abstand zwischen zwei Geraden (Abstand Gerade Gerade )
  
  • wenn die Geraden parallel verlaufen (Abstand Gerade Gerade )
  • wenn die Geraden windschief zueinander stehen (Abstand windschiefer Geraden )
• Abstand eines Punktes von einer Ebene (Abstand Punkt Ebene )

Abstände mit der euklidischen Distanz

Die Formeln, die du jetzt kennst, sind nur Spezialfälle der Formel für die euklidische Distanz. Mit ihr kannst du den Abstand zwischen zwei Punkten in Räumen mit noch mehr als drei Dimensionen berechnen. Die Formel lautet: 

Herleitung: Abstand zwischen zwei Punkten

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(02:58)

Du fragst dich vielleicht, wie man auf die beiden Formeln kommt, mit denen man den Abstand zweier Punkte berechnen kann. Das geht ganz einfach mit dem Satz von Pythagoras. Zum besseren Verständnis erklären wir dir sowohl die Herleitung der Abstandsformel in der Ebene als auch für drei Dimensionen. Aber eigentlich handelt es sich beide Male um den gleichen Rechenweg.

Abstand in der Ebene (zwei Dimensionen)

Die Strecke zwischen zwei Punkten können wir in einer Ebene zu einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen, indem wir achsenparallele Hilfslinien ziehen. So wird deutlich, dass der Abstand zwischen den Punkten die Hypotenuse und die Hilfslinien die Ankatheten dieses Dreiecks bilden. Die Verbindungsstrechke zwischen den Punkten

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Der Abstand

Aufgrund der Quadrate spielt es dabei keine Rolle welcher Punkt von welchem abgezogen wird und ob die Koordinatendifferenzen negativ sind.

Abstand im dreidimensionalen Raum

Im dreidimensionalen Raum

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Die Kantenlängen des gedachten Quaders lassen sich berechnen, indem wir die jeweiligen x-, y- und z-Koordinaten des Punktes

Der Abstand

Die Flächendiagonale ist dabei gleichzeitig die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten der x- und y-Koordinatendifferenzen der Punkte P und Q.

Setzen wir jetzt diese Gleichung für

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