Alle eigenwerte sind gleich

Die nächste zentrale Deﬁnition ist die von Eigenwerten und Eigenvektoren eines Endomorphismus eines Vektorraums.

Inhaltsverzeichnis Show

Sind Eigenwerte immer reell?
Was sagen die Eigenwerte aus?
Was sagen Eigenwerte über eine Matrix aus?
Können Eigenwerte komplex sein?

Sei f : V → V ein Endomorphismus. Ein λ ∈ K heißt Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v ∈ V ungleich Null gibt mit f(v) = λv. Solch ein Vektor heißt dann ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ.
Ein Eigenvektor bzgl. f ist also ein Vektor, der nicht Null ist und der durch f um einen Faktor λ, den Eigenwert, gestreckt wird. Wir deﬁnieren:

E(f,λ) = {v∈V | f(v) = λv}

für alle λ ∈ K. Dies ist ein Untervektorraum von V. Per deﬁnitionem ist λ ∈ K ein Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v≠0 in E(f,λ) gibt. E(f,λ) = {v ∈ V | f(v) = λv} ist E(f,λ) ein Untervektorraum von V.

Nach Definition muss ja f(v)=λv sein. Das bedeutet konkret (A ist eine Matrix)

Ax=λx.

Dies lässt sich auch umschreiben, mit E der Einheitsmatrix, in

Ax=λEx

Das lässt sich dann umformen zu:

(A-λE)x=0

Um nun den Eigenwert zu berechnen löst man diese Gleichung und da x≠0 vorausgesetzt wird folgt, dass es nur genau dann lösbar ist wenn (A-λE) einen nicht trivialen Kern hat (also kein Kern ≠0). Das bedeutet wiederum, dass die Determinante 0 sein muss:

det(A-λE)=0.

Diese Determinante nennt man dann „charakteristisches Polynom“. Die Nullstellen dieses Polynoms sind dann die Eigenwerte.

Nun zur Bestimmung der Eigenvektoren. Dafür setzt man den Eigenvektor in die Gleichung

(A-λE)x=0

anstelle des λ ein und erhält so ein Gleichungssystem das man lösen kann. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dann der Eigenvektor bzw. die Eigenvektoren.

Beispiel:

Am Beispiel der Matrix bestimmen wir mal die Eigenwerte:

Setzt sie wie oben beschrieben in die Gleichung (A-λE)=0 ein, dann erhaltet ihr:

Dann Berechnet ihr die Determinante dazu:

Die Nullstellen des Polynoms sind dann eure Eigenwerte. Also in diesem Fall λ1,2=2 und λ3=-2.

Jetzt gehts weiter mit den Eigenvektoren, dazu setzt ihr wie oben beschrieben die Eigenwerte für λ ein, erstmal die 2:

Dann muss man das Gleichungssystem lösen und erhällt durch Umformung:

Der Vektor lässt sich so leicht ablesen:

Die Eigenvektoren sind dann alle Vielfachen dieses Vektors!

Für den Eigenwert -2 macht ihr das dann einfach genauso:

So erhaltet ihr die Zweiten Eigenvektoren, nämlich alle Vielfachen des Vektors:

Sind Eigenwerte immer reell?

Es gilt: Alle Eigenwerte einer symmetrischen oder hermiteschen Matrix sind reell.

Was sagen die Eigenwerte aus?

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells.

Was sagen Eigenwerte über eine Matrix aus?

Eigenwerte einfach erklärt Für quadratische Matrizen gibt es bestimmte Vektoren, die man an die Matrix multiplizieren kann, sodass man den selben Vektor als Ergebnis erhält, nur mit einem Vorfaktor multipliziert. Einen solchen Vektor nennt man Eigenvektor und der Vorfaktor heißt Eigenwert einer Matrix.