Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit am gleichen Tag Geburtstag

An einer Versammlung befinden sich n Personen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei am gleichen Tag des Jahres Geburtstag haben?

Lösung

Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(A):
Anzahl mögliche Fälle m (1 Jahr = 365 Tage):    m = 365n
Anzahl günstige Fälle g für A:    g = g0 + g1 + g2 + g3 + ..., wo
g0 = 365 · 364 · 363 · ... · (365 - n + 1)
g1 =· 365 · 1 · 364 · ... · (365 - n + 2)
g2 =·

P(A) = g/m
Es gilt dann P(A) = 1 - P(A).

Zur Computersimulation

Gn¯ bedeutet, dass von den n Personen nicht zwei oder mehr Personen an demselben Tag Geburtstag haben. Der dazugehörige Pfad des Baumdiagramms ist im Testbild (s. unten) angegeben.

Dabei gibt es

1. für eine erste Person 365 mögliche Geburtstage,
2. für eine zweite Person nur noch 364 Tage, um an einem anderen Tag Geburtstag zu haben als die erste Person,
3. und für eine n-te Person nur noch 365 – n +1 verschiedene Tage.

Mithilfe der Multiplikationsregel erhält man:
 P(Gn)=1−P(Gn¯)=1−365⋅364⋅...⋅(365−n+1)365n

Die folgende Tabelle zeigt einige ausgewählte gerundete Werte von P(Gn):

n25101520212223P(Gn)0,0030,0270,1170,2530,4110,4440,4760,507n24253032405060100P(Gn)0,5380,5690,7060,7530,8910,9700,9940,999

Wertet man diese Tabelle aus, so lässt sich Folgendes feststellen:

1. Erstaunlicherweise ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 23 Personen zwei den gleichen Geburtstag haben, bereits größer als 0,5 und damit auch größer als die Wahrscheinlichkeit, dass alle 23 Geburtstage voneinander verschieden sind.
2. P(G60) liegt bereits über 0,99.
3. Es ist P(G32)≈0,753, d.h., der mit Lösungsvariante 2 gewonnene Wert 0,73 stellt eine gute Näherung dar. Er bestätigt auch die eingangs von Sarahs Onkel geäußerte Vermutung.

Sarah schaut verwundert auf das Ergebnis. „Ich sehe das Ergebnis, allein mir fehlt der Glaube“, lautet ihr Kommentar.
„Ich denke, das liegt daran, dass es dir eigentlich um eine andere Fragestellung geht, nämlich um die Wahrscheinlichkeit, dass mit dir mindestens eine von den 31 anderen Verwandten Geburtstag hat“, entgegnet ihr Onkel.

• Es sei En das Ereignis, dass mindestens eine von n Personen an einem bestimmten Tag ebenfalls Geburtstag hat.

Dann ist:
 P(En)=1−P(En¯)=1−(364365)n
 P(E31)=1−(364365)31≈0,082

Es ist also tatsächlich unwahrscheinlich, dass unter 31 Personen mindestens eine Person an einem bestimmten Tag (z.B. an dem Tag, an dem Sarah geboren wurde) Geburtstag hat. Dies erklärt auch das Missverständnis von Sarah.

Für das Geburtstagsproblem gibt es verschiedene Verallgemeinerungen:

1. Man kann z.B. nach der Wahrscheinlichkeit fragen, dass mindestens drei, vier oder k von n Personen gemeinsam Geburtstag haben.
   Eine Antwort würde den hier gegebenen Rahmen sprengen.
2. Das zugrunde liegende LAPLACE-Experiment braucht nicht genau 365 Ergebnisse zu haben, d.h., die Ergebnismenge Ω kann die Gestalt Ω={(e1; ...; en)   mit   e1, ..., en∈{1; 2; ...; m}} mit 2≤n≤m+1 besitzen.
   Dann gilt:
    P(Gn)=1−m⋅(m−1)⋅...⋅(m−n+1)mn  (m∈ℕ\{0})

Im Alltag tritt das Geburtstagsproblem mitunter in eingekleideter Form auf. Es verbirgt sich beispielsweise nicht selten hinter der Frage nach der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein an sich seltenes Ereignis gleich zweimal an einem Tag (oder relativ kurz hintereinander) auftritt.

Bei der Fußball-Europameisterschaft 2021 konnte die Deutsche Mannschaft zwar keine Trophäe ergattern, zwei Spieler des deutschen Kaders konnten sich unmittelbar nach dem Turnier trotzdem freuen: Serge Gnabry und Jonas Hofmann feierten beide am 14. Juli ihren Geburtstag. Dass sich unter den 26 Spielern im Kader zwei Menschen befinden, welche am gleichen Tag Geburtstag haben, kommt tatsächlich öfter vor als man denkt. Ist das nun ein Zufall - oder eher die Regel?

Fußballmannschaften, in denen mindestens zwei Spieler am gleichen Tag Geburtstag haben, waren bei der EM die absolute Regel. Beim Vize-Meister England wurde es noch wilder: Raheem Sterling und Reece James haben beide am 8. Dezember, während mit Kyle Walker, John Stones und Phil Foden gleich drei Spieler (!) am 28. Mai ihren Geburtstag feiern. Anscheinend ist es normal, dass in einer zufälligen Gruppe von 26 Menschen mindestens zwei davon am gleichen Tag Geburtstag haben. Warum ist das so?

Unser Verstand trügt uns: Das Geburtstagsparadoxon

Menschen können Wahrscheinlichkeiten aus einem Bauchgefühl heraus oft nur schlecht einschätzen. Beim sogenannten Geburtstagsparadoxon geht es genau darum. Aus einem intuitiven Gefühl heraus wirken selbst eigentlich richtige Antworten oft absurd. So wirkt auch die Feststellung, dass es selbst in kleineren Gruppen normal ist, dass zwei Leute am gleichen Tag Geburtstag haben zunächst komisch, sie ist jedoch leicht mathematisch begründbar.

Der Ausgangspunkt des Geburtstagsparadoxons basiert zunächst auf einer simplen Frage: Wie hoch schätzt man die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Menschen einer zufälligen Gruppe am gleichen Tag Geburtstag haben? Das Geburtsjahr muss hierzu nicht übereinstimmen. Anschließend muss man sich die Frage stellen: Wie nah lag die Schätzung am richtigen Ergebnis?

Bei deiner Antwort kommt es deshalb gar nicht so sehr auf die genaue Angabe von Prozenten an. Spannend ist hier schon, ob man denkt die Chance ist niedrig, oder hoch. Es scheint sich um eine komplexe Angelegenheit zu handeln. Schließlich gibt es gerade bei Geburtstagen von verschiedenen Menschen sehr viele Möglichkeiten, die alle miteinbezogen werden müssen.

Wie die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann

Um die Wahrscheinlichkeit herauszufinden, dass mindestens zwei Menschen aus einer Gruppe am selben Tag Geburtstag haben, müsste man theoretisch jede einzelne Möglichkeit mit einbeziehen. Es könnten schließlich genau zwei der Spieler am gleichen Tag Geburtstag haben, oder auch drei. Es könnte sogar passieren, dass alle Spieler am gleichen Tag Geburtstag haben. Das Ganze noch auf 365 mögliche Tage und der Schlamassel ist perfekt.

Um es sich einfacher zu machen, wird das Problem daher zunächst umgedreht und das Gegenteil berechnet. Die Frage lautet dann: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 26 Spieler an unterschiedlichen Tagen im Jahr Geburtstag feiern?

Die Rechnung sieht dann folgendermaßen aus: Die Spieler werden von 1 bis 26 durchnummeriert. Wir fangen mit dem ersten Spieler an. Er hat an irgendeinem von 365 Tagen Geburtstag. Spieler Nummer 2 soll ja nicht am gleichen Tag Geburtstag haben, also bleiben noch 364 mögliche Geburtstage übrig. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Spieler an zwei unterschiedlichen Tagen geboren wurden, liegt bei 364/365, also etwa 99,7 Prozent.

Die ganze Gruppe muss einbezogen werden!

Weiter geht es mit Spieler Nummer 3: Weil er auch an einem anderen Tag Geburtstag feiern soll als die ersten beiden, bleiben ihm nur noch 363 Tage übrig - zwei Tage sind ja schon belegt. Die Rechnung dafür, dass 3 Leute an unterschiedlichen Tagen im Jahr geboren wurden lautet 364 / 365 * 363 / 365. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis liegt deshalb etwa bei 99,2 %.

Diese Kette führt man fort, bis man alle 26 Spieler in die Rechnung einbezogen hat. Der Letzte hat nur noch 340 Tage Spielraum. Die Wahrscheinlichkeit p, dass sich niemand der 22 Spieler den Geburtstag teilt, ist daher: p = 364 / 365 * 363 / 365 * 362 /365 * ... * 340 / 365 = 40,2 %.

Um herauszufinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens zwei Personen aus einer Gruppe von 26 am gleichen Tag Geburtstag haben, müssen wir das Ergebnis noch von 100 abziehen. Das bedeutet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 59,8 % sind unter 26 Spielern zwei, die am gleichen Tag Geburtstag haben.

Ergebnis verblüfft

Dass das Ergebnis so hoch ist, scheint zunächst verblüffend. Es ist demnach wahrscheinlicher, dass aus dieser Gruppe mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, als dass alle an unterschiedlichen Tagen feiern. Bei einer Gruppe von 41 Leuten, würde das Ergebnis sogar 90 % überschreiten. Scheinbar unglaublich hohe Zahlen.

Das hängt beim Geburtstagsparadoxon damit zusammen, dass schon die Frage oft falsch interpretiert wird. Beim Geburtstagsparadoxon geht es darum, wie wahrscheinlich es ist, dass zwei beliebige Personen an ein und demselben beliebigen Tag Geburtstag haben. Oft wird dieses Problem aber anders verstanden, nämlich: „Wie wahrscheinlich ist es, dass eine bestimmte Person an einem bestimmten Tag Geburtstag hat?“

Wie die EM 2021 gezeigt hat, deckt sich die berechnete Wahrscheinlichkeit auch mit der Realität. In einer ausreichend großen Gruppe von Menschen ist es also eher die Regel als eine Ausnahme, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben.

Dieses Mathematik-Rätsel hat auch schon viele hinters Licht geführt: Diese Aufgabe können angeblich nur Hochbegabte lösen

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