Diese Funktion berechnet die Seitenlänge, die Höhe, den Umfang und den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks. Zur Berechnung wählen Sie im Menü den Parameter, der Ihnen bekannt ist und geben Sie dessen Wert ein. Dann klicken Sie auf den Button 'Rechnen'. Show
Wie kann man ein Dreieck berechnen? Genau dies sehen wir uns in den nächsten Abschnitten an. Dabei wird gezeigt, wie man Fläche und Umfang an einem Dreieck berechnen kann. Entsprechende Formeln mit Beispiel werden vorgestellt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.  Im Mathematik-Unterricht der Mittelstufe rechnet man oft an Dreiecken. Das wollen wir hier nun auch tun. Dabei sehen wir uns an, wie man den Umfang eines Dreiecks berechnen kann und im Anschluss geht es um die Fläche bei einem Dreieck. Dreieck berechnen: UmfangUmfang Dreieck: Formel: U = a + b + c Beispiel 1: a = 3 m, b = 2,5 m und c = 3,3 m Lösung: U = 3 m + 2,5 m + 3,3 m = 8,8 m Dreieck berechnen: FlächeAls nächstes beschäftigen wir uns damit die Fläche eines Dreiecks zu berechnen. Dazu benötigen wir die Länge der Grundseite und die Höhe des Dreiecks. Es folgt eine Grafik, im Anschluss eine Formel und ein Beispiel: Fläche Dreieck: Formel: A = 0,5 · a · h
Beispiel 2: a = 3 cm, h = 5 cm Lösung: A = 0,5 · 3 cm · 5 cm = 7,5 cm2 Rechtwinkliges Dreieck berechnenWichtig: Den Satz des Pythagoras darf man nur an Dreiecken anwenden, welche einen rechten Winkel aufweisen! Bei dem folgenden Dreieck findet sich links unten ein rechter Winkel. Der rechte Winkel ist wie gesagt absolut zwingend um den Satz des Pythagoras anwenden zu dürfen. Folgende Eigenschaften sind noch interessant:
Der Satz des Pythagoras wird dazu benutzt, die dritte Länge eines Dreiecks zu berechnen. Weiß man also zum Beispiel die Längen von a und b, kann man die Länge von c damit berechnen. Die Formel bzw. Gleichung lautet: Ein Dreieck berechnen – wie funktioniert das überhaupt? Und was versteht man unter einem gleichschenkligen oder gleichseitigen Dreieck? Wir haben die wichtigsten Infos rund um das Dreieck für dich zusammengefasst und zeigen dir anhand von Beispielen, wie du spielend leicht Umfang und Flächeninhalt berechnest! Inhalt
Was ist ein Dreieck?Ein Dreieck ist eine zweidimensionale geometrische Figur. Es besitzt drei Seiten und – wie der Name schon sagt – drei Eckpunkte. EckpunkteDie drei Eckpunkte eines Dreiecks werden – üblicherweise entgegen des Uhrzeigersinns – mit den Großbuchstaben A, B und C gekennzeichnet. SeitenAlle Dreieck-Seiten werden nach ihren gegenüberliegenden Eckpunkten benannt und mit Kleinbuchstaben markiert: a, b und c. So liegt etwa die Seite c dem Punkt C gegenüber. InnenwinkelDie Innenwinkel werden mit den griechischen Buchstaben α (Alpha), β (Beta) und γ (Gamma) beschriftet. Alpha ist der Winkel am Eckpunkt A, Beta am Punkt B und Gamma am Punkt C. Innenwinkelsatz Die Innenwinkel eines Dreiecks bilden immer die Summe 180°: α + β + γ = 180° Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen rechten Winkel, also einen Winkel, der genau 90° groß ist. Folgendes solltest du zum rechtwinkligen Dreieck wissen:
Jetzt unverbindliche Anfrage senden! Jetzt unverbindliche Anfrage senden! Seitenverhältnis im DreieckDie Seitenlängen können in unterschiedlichem Verhältnis zueinander stehen. Daraus lassen sich verschiedene Dreiecks-Arten ableiten. Ungleichseitiges DreieckBei einem ungleichseitigen Dreieck sind alle Seiten unterschiedlich lang. Auch die Innenwinkel sind unterschiedlich groß a ≠ b ≠ c Gleichseitiges DreieckEin Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, wird gleichseitiges Dreieck genannt. Auch die Innenwinkel sind bei dieser Dreieck-Art gleich groß, sie betragen 60°. a = b = c Gleichschenkliges DreieckBei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Diese beiden Seiten werden a und b genannt und als Schenkel des Dreiecks bezeichnet. Auch zwei Winkel haben dadurch diesselbe Größe (hier α und β). a = b ≠ c Dreieck Formeln – alles was du brauchst!Umfang: U = a + b + c Flächeninhalt: A = ½ · g · h Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck: A = ½ · a · b Umfang DreieckDie Berechnung des Umfangs U eines Dreiecks ist ganz simpel und für alle Dreiecksarten gleich. Du addierst hierfür einfach die einzelnen Seitenlängen: U = a + b + c U = Umfang a = Seite a b = Seite b c = Seite c Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 5 cm, b = 7 cm und c = 10 cm. Gesucht wird der Umfang des Dreiecks. U = a + b + c → Der Umfang des Dreiecks beträgt 22 cm. Probiere es selbst aus und bearbeite die folgenden Übungsaufgaben! Wenn du nicht weiterkommst, haben wir natürlich auch die Lösung parat. Umfang: Übung 1Berechne den Umfang eines Dreiecks, das die Seitenlängen a = 11 cm, b = 4,5 cm und c = 9 cm hat. LösungWir haben die Seitenlängen alle gegeben. Somit können wir sie einfach in die Formel einsetzen: U = a + b + c Der Umfang des Dreiecks beträgt 24,5 cm. Umfang: Übung 2Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge c = 5 cm. Berechne seinen Umfang! LösungWir wissen, dass das Dreieck gleichseitig ist. Das heißt, alle Seiten haben dieselbe Länge: a = b = c = 5 cm Der Umfang des Dreiecks beträgt 15 cm. Umfang: Übung 3Das Dreieck ist gleichschenklig und hat einen Umfang von 20 cm. Die Seite c ist 5 cm lang. Berechne die Länge der Schenkel a und b! LösungDa das Dreieck gleichschenklig ist, sind die Seiten bzw. Schenkel a und b gleich lang: a = b Daher können wir b in der Formel durch a ersetzen und lösen die Formel nach a auf: U = a + a + c Die Schenkel a und b haben beide eine Länge von 7,5 cm. Flächeninhalt Dreieck berechnenUm den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, musst du die Länge der Grundseite mit der Höhe multiplizieren und das Ergebnis durch 2 teilen. Die Formel hierzu lautet: A = ½ · g · h A = Flächeninhalt Dreieck g und h müssen vor der Berechnung in der gleichen Maßeinheit vorliegen! Der Rechenweg wird in den beiden oberen Abbildungen veranschaulicht. Links siehst du ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c. Außerdem ist die Höhe von c (= hc) eingezeichnet. Die Höhe einer Seite ist ein Lot, also eine senkrechte Linie, die die Seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbindet. Jede Dreieck-Seite besitzt solch ein Lot. Klick auf den folgenden Tab, wenn du die Herleitung der Flächenformeln genauer verstehen möchtest. Herleitung der FlächenformelWie du in den Abbildungen siehst, wird das Dreieck durch das Einzeichnen der Höhe von c in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt. Ergänzt man diese Dreiecke um zwei kongruente (= deckungsgleiche) Dreiecke (Abbildung rechts), erhält man ein Rechteck. Nun wird klar, dass man die Fläche eines Rechtecks berechnet und dieses Ergebnis durch zwei teilt. Das Rechteck hat in diesem Fall die Seitenlängen c (= Grundfläche) und hc (= Höhe der Grundfläche): A (Rechteck) = c · hc = g · h → daraus folgt: A (Dreieck) = ½ · g · h A (Rechteck) = Flächeninhalt Rechtecks Alternativ ist es natürlich auch möglich, eine andere Seite des Dreiecks als Grundseite zu nehmen und ihre Höhe einzuzeichnen. Achte darauf, dass die Höhe immer im rechten Winkel auf ihrer Grundseite stehen muss! Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck – ein SonderfallNoch einfacher ist die Flächenberechnung bei einem rechtwinkligen Dreieck. Links siehst du ein Dreieck, dessen Winkel γ = 90 ° ist. Wie du merkst, kann man das Dreieck verdoppeln, wodurch ein Rechteck entsteht (siehe rechte Abbildung). Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen, brauchst du also einfach den Flächeninhalt des Rechtecks durch 2 zu teilen: A = ½ · a · b A = Flächeninhalt Dreieck a und b stehen für die beiden Seiten des Dreiecks, die den rechten Winkel bilden Flächeninhalt Dreieck berechnenSchauen wir uns den Rechenweg an einem Beispiel an. Ein Dreieck hat die Seitenlänge c = 9 cm. Die Seitenhöhe von c (= hc) beträgt 5 cm. Wie groß ist die Fläche des Dreiecks? Wir haben die Länge der Grundseite c (= 9 cm) und ihre Höhe (= 5 cm) gegeben. Diese Werte setzen wir in die Formel ein: A = ½ · g · h → Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 22,5 cm². Achte darauf, dass der Flächeninhalt immer im Quadrat (z.B. cm²) stehen muss. Nun bist du an der Reihe! Wende die Flächenformeln in den folgenden Übungsaufgaben an. Fläche: Übung 1Die Seite a eines Dreiecks besitzt eine Länge von 7 cm. Die Seitenhöhe von a (= ha) beträgt 3 cm. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. LösungIn diesem Beispiel nehmen wir zur Berechnung die Seite a als Grundseite g. Wir setzen die Werte in die Flächenformel ein: A = ½ · g · h Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 10,5 cm². Fläche: Übung 2Du hast ein Dreieck vorliegen, das die Seitenlängen a = 5 cm, b = 10 cm und c = 7 cm hat. Zusätzlich ist die Seitenhöhe von b bekannt, sie beträgt 3 cm. Berechne die Fläche des Dreiecks. LösungZwar haben wir alle Seitenlängen gegeben, wir brauchen aber nur die Länge der Grundseite zur Berechnung. Da wir die Seitenhöhe von b kennen, nehmen wir Seite b als Grundseite. A = ½ · g · h Das Dreieck besitzt einen Flächeninhalt von 15 cm². Fläche: Übung 3Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreieck haben die Seitenlängen a = 15 mm und b = 4 cm. Berechne die Fläche des Dreiecks. LösungDie beiden Katheten bilden bei einem rechtwinkligen Dreieck den rechten Winkel. Somit haben wir alle Werte, die wir für die Berechnung des Flächeninhalts benötigen. Achtung: Da die Maßeinheiten bei beiden Seiten unterschiedlich sind, rechnen wir zunächst die Länge von Seite a von Millimeter in Zentimeter um. Wir verwenden die Flächenformel für rechtwinklige Dreiecke: a = 15 mm = 1,5 cm A = ½ · a · b Die Fläche des Dreiecks ist 3 cm² groß. Formel umstellenNatürlich kannst du die Flächenformeln auch umstellen, um z.B. eine Seitenhöhe oder eine Seitenlänge auszurechnen. A = ½ · g · h → g = (A · 2) / h Für rechtwinklige Dreiecke: A = ½ · a · b → a = (A · 2) / b Dreieck berechnen – FAQDas Wichtigste in Kürze: Eure meistgestellten Fragen habe wir hier zusammengetragen. Klick einfach auf das +, um die Antwort zu sehen. Wie viel Grad hat ein Dreieck?Die Summe der Innenwinkel beträgt bei jedem Dreieck 180°. Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Diese beiden Seiten werden als Schenkel bezeichnet. Was ist ein gleichseitiges Dreieck?Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang (a = b = c). Dementsprechend sind auch alle Innenwinkel gleich groß, sie betragen allesamt 60° (α = β = γ = 60°) Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen rechten Winkel, der also genau 90° groß ist. Wie berechnet man ein Dreieck?Für die Berechnung des Umfangs eines Dreiecks benötigst du die drei Seitenlängen. Die Formel lautet: U = a + b + b Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit einer Grundseite (g) und der dazugehörigen Höhe (h): A = ½ · g · h Für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks gilt eine gesonderte Formel: A = ½ · a · b (a und b = die Seiten, die den rechten Winkel bilden) Wir hoffen diese Übersicht über das Thema konnte dir weiterhelfen. Falls noch Fragen oder Unklarheiten aufgekommen sein sollten, schreib gerne einen Kommentar und lass es uns wissen! |
Wie berechnet man die Seitenlänge eines Dreiecks mit der Höhe?
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