Was ist der unterschied zwischen wahrscheinlichkeit und relative häufigkeit

Ein Zufallsexperiment eines Wahrscheinlichkeitsraumes mit Ergebnismenge Ω wird als Laplace-Experiment bezeichnet, falls jedes Ergebnis a ∈ Ω gleich wahrscheinlich ist. Erkennen kannst du Laplace-Experimente meistens an vorliegenden Symmetrien, zum Beispiel der Form eines geworfenen Gegenstandes (Würfel, Münze) oder der Anordnung von Gewinnfeldern wie auf einem Roulette-Rad.

In einem Laplace-Experiment gilt für die Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses: P = Anzahl der für das Ereignis günstigen ErgebnisseAnzahl der möglichen Ergebnisse

Würfeln mit Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ist ein Laplace-Experiment, weil beim Würfeln mit einem „fairen“ Würfel aufgrund der symmetrischen Form und der gleichmäßig verteilten Masse des Würfels jede der sechs Seiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit oben liegen bleibt.Jede Zahl wird also mit Wahrscheinlichkeit 16gewürfelt. Würfeln mit Ergebnismenge Ω = {keine 6; 6} ist kein Laplace-Experiment, weil mit geringerer Wahrscheinlichkeit eine „6“ als „keine 6“, also eines der fünf anderen Ergebnisse, gewürfelt wird.

Laplace-Wahrscheinlichkeiten bestimmen Aus der Bedingung, dass jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich sein muss, folgt zusammen mit der allgemein geltenden Summenregel eine Regel, mit der sich Laplace-Wahrscheinlichkeiten oft leicht berechnen lassen. Ist in einem Laplace-Experiment zum Beispiel Ω = {1; 2; 4; 6; 8} die Ergebnismenge, so muss jedes Ergebnis mit Wahrscheinlichkeit 15eintreten. Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E = {4; 6} folgt dann:

Formel:In einem Laplace-Experiment mit Ergebnismenge Ω gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E: P(E) = Anzahl der für das Ereignis E günstigen ErgebnisseAnzahl der möglichen Ergebnisse= |E||Ω|

Gib die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E = {rot; gelb} in einem Laplace-Experiment mit Ergebnismenge Ω = {grün; blau; rot; gelb; schwarz; weiß; rosa} an.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Wenn du eine Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in einem Experiment bestimmen möchtest, das in einer Textaufgabe beschrieben wird, musst du zunächst feststellen was die Ergebnismenge ist oder wie du sie wählen kannst und ob damit ein Laplace-Experiment vorliegt oder nicht.

Beim Roulette wird eine Kugel in in ein Glücksrad mit von 0 bis 36 nummerierten und gleichmäßig verteilten Feldern gerollt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit der Kugel die 10, 20 oder 30 zu treffen? Wähle zunächst aus, welche dieser Mengen du als Ergebnismenge Ω definieren kannst, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit in einem Laplace-Experiment zu bestimmen.

Da es 37 verschiedene Möglichkeiten für das Ergebnis gibt und 3 davon günstig für das beschriebene Ereignis sind, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit P({10; 20; 30}) = 337.

Während die absolute Häufigkeit angibt, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt (Anzahl), beschreibt die relative Häufigkeit, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Versuche ist.

Man berechnet die relative Häufigkeit daher folgendermaßen:

Die relative Häufigkeit kann man als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit verwenden, wenn die Gesamtzahl der Versuche ausreichend groß ist.

Beispiel

Ein Würfel wird 20-mal geworfen und fünfmal erscheint die 3. Damit ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses „Es fällt eine 3“ gleich 5.

Die relative Häufigkeit ist gleich der absoluten Häufigkeit geteilt durch die Anzahl der Versuche:

520=0,25=25 %\frac5{20}=0{,}25=25\,\%205​=0,25=25%

▸ Übungsaufgabe

Eigenschaften und Rechenregeln

Wenn man zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments betrachtet, kann man die relativen Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel darstellen.

Für die folgenden Eigenschaften seien AAA und BBB Ereignisse, z. B. bestimmte Augenzahlen beim Würfeln.

• 0≤hn(A)≤10 \le h_n(A) \le 10≤hn​(A)≤1, d. h., die relative Häufigkeit hat nur Werte zwischen 0 und 1.

▸ Begründung

• hn(Ω)=1h_n(\mathit\Omega) = 1hn​(Ω)=1 für das sogenannte sichere Ereignis.

▸ Begründung

• hn(A∪B)=hn(A)+hn(B)−hn(A∩B)h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)hn​(A∪B)=hn​(A)+hn​(B)−hn​(A∩B) für die Summe von Ereignissen.

▸ Begründung

• hn(Aˉ)=1−hn(A)h_n(\bar{A})= 1 - h_n(A)hn​(Aˉ)=1−hn​(A) für das Gegenereignis.

▸ Begründung

Beziehung zur Wahrscheinlichkeit

Wenn ein Zufallsexperiment nur sehr wenige Male durchgeführt wird, ist die relative Häufigkeit oft nicht sehr aussagekräftig, denn ihr Wert ist sehr vom Zufall beeinflusst.

Besonders zu Beginn einer Reihe von Versuchsdurchführungen kann sie zudem starken Schwankungen unterliegen.

▸ Warum ist das so?

Die Erfahrung zeigt aber, dass sich bei sehr vielen Durchführungen die relative Häufigkeit eines Ereignisses im Normalfall immer irgendwann auf einen bestimmten Wert stabilisiert.

▸ Gesetz der großen Zahlen

Den Wert, auf den sich die relative Häufigkeit annähert, verwendet man auch als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. Auf diese Weise kann man Werte für Wahrscheinlichkeiten, die man nicht theoretisch berechnen kann, experimentell aus Daten ermitteln.

Voraussetzung ist dabei stets, dass die Versuchsreihen, aus denen die relativen Häufigkeiten berechnet werden, lang genug sind, bzw. dass das Experiment oft genug wiederholt wurde.

Bemerkung: Für die Wiederholung eines Experiments benutzt man oft den Computer, denn er kann viel schneller ein Experiment wie zum Beispiel das Werfen eines Würfels simulieren, als es ein Mensch in der Realität ausführen könnte.

Was ist der Unterschied zwischen relativer und absoluter Wahrscheinlichkeit?

Was versteht man unter relative Häufigkeit?

Wie ist die Wahrscheinlichkeit definiert?

Was sind relative Häufigkeiten Beispiel?