Neue Exponenten$$2^3$$, $$(-25)^2$$, $$x^-2$$, $$(1/4)^2$$, $$1,5^-1$$ Show Diese Potenzen sind dir vertraut: verschiedene Zahlen als Basis und positive und negative ganze Zahlen als Exponent. Aber: Die Exponenten können auch Brüche sein wie in $$2^(1/2)$$! Häh? $$2^3=2*2*2$$, aber wie soll das mit einem Bruch gehen… Das ist festgelegt über die Wurzel! Los geht’s: Brüche $$1/n$$ als ExponentMathematiker haben Potenzen mit Brüchen so festgelegt. Beispiele:
„Hoch einhalb“ ist dasselbe wie das Ziehen der 2. Wurzel. Für eine Zahl a gilt: $$a^(1/n)=root n(a)$$ Brüche $$m/n$$ als ExponentDer Exponent kann aber auch ein anderer Bruch sein. Sieh dir den Term $$x^(6/7)$$ an. $$x^(6/7)$$ Potenzgesetze: $$n$$-te Wurzel ziehen für $$n=7$$: Also: $$x^(6/7)=root 7(x^6)$$ Für eine Zahl a gilt: $$a^(m/n)=root n(a^m)$$
Und so geht’s allgemein: $$x^(a*1/b)$$ $$root b (x^a)$$ Noch nicht kapiert?kapiert.dekann mehr:
Und in der Praxis?Potenzen mit rationalen Exponenten kommen beim Bakterienwachstum vor. Eine Bakterienart vermehrt sich so, dass sich ihre Anzahl nach einer Stunde vervierfacht.
Fällt dir was an den Zahlen auf?
Mit der Formel kannst du die Anzahl der Bakterien nach einer halben Stunde berechnen. Jetzt kommt die Wurzel ins Spiel. $$x=4^(1/2)=sqrt(4)=2$$ Oder nach $$2,5$$ Stunden? $$x=4^(2,5)=4^(5/2)=4^(5*(1/2))=(4^5)^(1/2)=sqrt(4^5)=sqrt(1024)=32$$ Nach 2,5 Stunden gab es 32 Bakterien. Für diese Rechnung brauchtest du schon ein paar Regeln aus der Bruchrechnung und Potenzgesetze wie $$(a^m)^n=a^(m*n)$$. In der Physik werden sehr große und sehr kleine Zahlenwerte üblicherweise mit Hilfe von Potenzen der Zahl 10 geschrieben. Für große Zahlen ist 10n, mit n einer nichtnegative ganzen Zahl, eine 1 mit n nachfolgenden Nullen, beispielsweise: 100 = 1 = Eins Sehr kleine Bruchteile lassen sich als 10-n, mit n einer nichtnegativen ganzen Zahl schreiben. n zählt auch hier die Nullen:
Zahlen, die keine glatte Potenz der Zahl zehn sind, lassen sich schreiben, indem man die Zehnerpotenz als Faktor herauszieht: So ist etwa 1748 = 1,748·1000 = 1,748·103 in Taschenrechnern auch geschrieben 1,748E3. Als Beispiel für eine kleine Zahl ist 0,000.4175.5 = 4,1755·0,0001 = 4,1755·10-4 = 4,1755E-4. Was bedeutet x hoch?(sprich: x hoch n ) heißt Potenz. Das in heißt die Basis (seltener: Grundzahl) der Potenz . Das in heißt der Exponent (seltener: Hochzahl) der Potenz .
Was bedeutet x hoch 1?Eine Potenz ist die wiederholte Multiplikation einer Zahl mit sich selbst! Wenn der Exponent 1 ist, ist die Potenz gleich der Basis. Wenn der Exponent null ist und die Basis ungleich null, ist die Potenz 1.
Wie nennt man x hoch 2?In der Mathematik versteht man unter dem Quadrat einer Zahl einen Rechenausdruck (Term), der die Multiplikation dieser Zahl mit sich selbst ausdrückt. Die Berechnung eines solchen Quadrates nennt man entsprechend Quadrieren. Als Symbol für das Quadrat einer Zahl wird die hochgestellte Ziffer 2 verwendet.
Was ist X hoch O?Fassen wir noch mal zusammen, was wir gelernt haben: Was ist denn nun x hoch 0? Jede Zahl ungleich 0 hoch 0 ergibt 1. Dieses Gesetz trifft zu, ganz egal, welches andere Potenzgesetz noch im Spiel ist.
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