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Eine harmonische Schwingung beschreibt einen harmonischen Oszillator, der sinusförmig um seine Ruhelage schwingt. Es gibt verschiedene harmonische Oszillatoren, wie das Fadenpendel oder das Federpendel. In unserem Video erklären wir dir, durch welche Bedingungen eine harmonische Schwingung charakterisiert ist. Zusätzlich lernst du, wie eine Bewegung auf einen Kreis mit der Sinusfunktion zusammenhängt und wie die Schwingung eines Faden- und Federpendels durch eine Schwingungsgleichung beschrieben werden kann. Du hast nicht so viel Zeit, alles zu lesen? Kein Problem! Genau dafür haben wir ein Video erstellt. Schau es dir an, damit du innerhalb von kürzester Zeit alles Wichtige zur Harmonischen Schwingung erfährst!
Harmonische Schwingung Definitionim Videozur Stelle im Video springen (00:13) Eine harmonische Schwingung zeichnet sich durch eine lineare Rückstellgröße aus und kann durch eine sinusförmige Funktion beschrieben werden. Als Schwingungen, auch Oszillationen genannt, bezeichnet man allgemein zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen eines Systems. Ein schwingendes System, welches eine harmonische Schwingung ausführt, wird auch harmonischer Oszillator genannt. Man unterscheidet verschiedene Arten von Schwingungen. Es gibt zum Beispiel periodische, nicht periodische, lineare, nichtlineare, gedämpfte oder ungedämpfte Schwingungen. Im Folgenden werden wir uns auf die Beschreibung harmonischer Schwingungen beschränken. Eine harmonische Schwingung kann durch die folgenden zwei Bedingungen charakterisiert werden. Zum einen kann man die Bewegung eines schwingenden Körpers mit der Projektion einer Kreisbewegung beschreiben. Dies entspricht einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion, zum Beispiel  Zum anderen ist eine harmonische Schwingung durch das lineare Kraftgesetz darstellbar. Dieses besagt, dass die rücktreibende Kraft auf einen schwingenden Körper proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage und dieser entgegengesetzt ist. Dieser Zusammenhang kann durch die Formel ausgedrückt werden. Diese Gleichung beschreibt die Rückstellkraft eines an einer Feder befestigten Körpers. Die Variable Harmonische Schwingung FormelEine harmonische Schwingung wird durch die Formel beschrieben. Hierbei repräsentiert Harmonische Schwingung Kreisbewegungim Videozur Stelle im Video springen (01:25) Wie oben erwähnt, kann eine harmonische Schwingung durch die Projektion einer Kreisbewegung dargestellt werden. Um die Bewegung zu veranschaulichen, geht man von einem Punkt direkt ins Video springen KreisbewegungBewegt sich nun der Punkt gegen den Uhrzeigersinn, dann nimmt die y-Komponente des Punktes zuerst zu, bis der Vektor direkt ins Video springen KreisbewegungIn der oberen Abbildung kann man erkennen, dass die y-Komponente durch bestimmen. Nachdem die y-Komponente ihr Maximum erreicht hat, nimmt diese dann ab, bis der Vektor Geschwindigkeit und Beschleunigung einer SchwingungAus dem oben beschriebenen Zeit-Orts-Gesetz, welches eine harmonische Schwingung beschreibt, lässt sich durch Ableiten dieser Funktion das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz und das Zeit-Beschleunigungs-Gesetz bestimmen. Das Zeit-Orts-Gesetz ist gegeben durch wobei Mit der Substitution Leitet man diese Funktion erneut ab, so führt dies auf das Zeit-Beschleunigungs-Gesetz mit Fadenpendelim Videozur Stelle im Video springen (03:36) direkt ins Video springen FadenpendelDas Fadenpendel besteht aus einem Faden der Länge Hierbei beschreibt Aufgrund des Aktionsprinzips von Newton (2. Newtonsche Axiom ) kann die Tangentialkraft auch durch dargestellt werden. In unserem Fall stellt die Tangentialkraft die einzige äußere Kraft dar, so dass man folgende nichtlineare Differentialgleichung erhält Für kleine Winkel kann der Sinus wie folgt genähert werden Dies führt dann auf folgende Schwingungsgleichung Die Lösung Diese allgemeine Lösung beschreibt eine Überlagerung zweier Schwingungen und ist deshalb äquivalent zu einer Schwingung mit derselben Frequenz und einer Phasenverschiebung Der Faktor Harmonische Schwingung: Federpendelim Videozum Video springen Das Federpendel besteht aus einer Feder, an dem ein Körper angebracht ist. Wird der Körper aus der Ruhelage ausgelenkt, dann beginnt er auf und ab zu schwingen. Die Bewegung des Federpendels kann im ungedämpften Fall durch die homogene Differentialgleichung beschrieben werden und entspricht einer harmonischen Schwingung. Hierbei repräsentiert direkt ins Video springen Zum Video: FederpendelBeliebte Inhalte aus dem Bereich Mechanik: DynamikWie weist man eine harmonische Schwingung nach?Eine harmonische Schwingung zeichnet sich durch eine lineare Rückstellgröße aus und kann durch eine sinusförmige Funktion beschrieben werden. Als Schwingungen, auch Oszillationen genannt, bezeichnet man allgemein zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen eines Systems.
Wann handelt es sich um eine harmonische Schwingung?Voraussetzung für eine harmonische Schwingung ist eine auslenkungsproportionale Rückstellkraft. Dabei ist ω 0 die Kreisfrequenz. Die Schwingungsdauer einer allgemeinen harmonischen Schwingung ist unabhängig von der Auslenkung aus der Ruhelage.
Wie lautet die Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung?Für die Schwingungsfunktion der harmonischen Schwingung gilt: y ( t ) = A ⋅ sin ( ω ⋅ t + ϕ ) y(t)=A \cdot \sin{(\omega \cdot t + \phi)} y(t)=A⋅sin(ω⋅t+ϕ).
Wann schwingt ein Fadenpendel harmonisch?Bei dem Fadenpendel stellt sich eine harmonische Schwingung ein, wenn die Auslenkung minimal ist. Das bedeutet also, dass wir hier von sehr kleinen Auslenkungen ausgehen. Dann können wir die Amplitude (Abstand von Ruhelage zur maximale Auslenkung) als Strecke annehmen, anstelle der Bogenlänge .
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Funktionszeichen für den bogen den eine harmonische schwingung spannt
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