Wie berechne ich die fläche eines kreises

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Kreis – Umfang und Flächeninhalt

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Kreis – Umfang und Flächeninhalt

Inhalt

• Einführung: Kreis
• Umfangberechnung Kreis
• Flächenberechnung Kreis
• Beispielaufgabe 1 - Flächenberechnung und Umfangberechnung mithilfe des Durchmessers
• Beispielaufgabe 2 - Flächenberechnung mithilfe des Umfangs
• Kurze Zusammenfassung zum Video Kreis – Umfang und Flächeninhalt
• Formeln Kreis – Tabelle

Einführung: Kreis

Ein Kreis oder genauer eine Kreislinie ist gegeben durch alle Punkte, die zu dem Mittelpunkt des Kreises den gleichen Abstand haben. Dieser Abstand wird Radius $r$ genannt. Das Doppelte des Radius ist der Durchmesser $d$. Es ist also $d=2r$ oder $r=\frac d2$.

Ein Kreis besitzt einen Umfang sowie einen Flächeninhalt.

Umfangberechnung Kreis

Die Länge der Kreislinie wird als Umfang $u$ bezeichnet.

Die Kreisumfangformel lautet $u_{\circ}=2\pi\cdot r$. Dabei ist $\pi=3,141592 ...$ die sogenannte Kreiszahl.

Der Umfang eines Kreises kann auch mit dem Durchmesser berechnet werden: $u_{\circ}=\pi\cdot d$.

Flächenberechnung Kreis

Der Flächeninhalt eines Kreises $A_{\circ}$ wird mit der Formel $A_{\circ}=\pi\cdot r^2$ berechnet.

Mithilfe des Durchmessers ergibt sich die Formel $A_{\circ}=\pi\cdot \frac{d^2}4$.

Beispielaufgabe 1 - Flächenberechnung und Umfangberechnung mithilfe des Durchmessers

Gegeben ist ein Kreis mit dem Durchmesser $d=4,55~\text{m}$.

Man kann den Umfang berechnen mit der Formel $u_{\circ}=\pi\cdot d$. Der Durchmesser wird eingesetzt: $u_{\circ}=\pi\cdot 4,55~\text{m}\approx 14,29~\text{m}$. Zur Flächenberechnung wird die Formel $A_{\circ}=\pi\cdot \frac{d^2}4$ verwendet: $A_{\circ}=\pi\cdot \frac{\left(4,55~\text{m}\right)^2}4\approx16,26~\text{m}^2$.

Beispielaufgabe 2 - Flächenberechnung mithilfe des Umfangs

In diesem Beispiel ist der Umfang eines Kreises $u_{\circ}=30~\text{m}$ gegeben. Der Radius kann durch Umformung der Umfangformel ermittelt werden: $u_{\circ}=2\pi\cdot r$. Dieses Mal wird der Umfang eingesetzt: $30~\text{m}=2\pi\cdot r$

Division durch $2\pi$ führt zu dem gesuchten Radius $r=\frac{30~\text{m}}{2\pi}\approx4,8~\text{m}$.

Mithilfe dieses Radius kann man schließlich die Kreisfläche berechnen: $A_{\circ}=\pi\cdot \left(4,8~\text{m}\right)^2\approx 72,3~\text{m}^2$.

Kurze Zusammenfassung zum Video Kreis – Umfang und Flächeninhalt

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Größen Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche eines Kreises rechnerisch zu bestimmen.

Zunächst lernst du, wie die Größen an einem Kreis definiert sind. Anschließend übst du an einigen Rechenbeispielen die Anwendung der Formeln für den Umfang und die Fläche eines Kreises. Abschließend lernst du, wie du ausgehend von unterschiedlichen gegebenen Größen die jeweils fehlende Größe an einem Kreis durch Umstellen der Formeln ermitteln kannst.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du eine Formel umstellst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Berechnungen an weiteren geometrischen Figuren zu lernen.

Formeln Kreis – Tabelle

Transkript Kreis – Umfang und Flächeninhalt

Der Sumo-Wettkampf des Jahres steht an. Während der große Yogi Mathemashi seinen Titel verteidigt, kämpfen wir mit dem Kreis und berechnen Umfang und Flächeninhalt. Yogi Mathemashi wird seinem leichtgewichtigen Erzfeind herausgefordert. Nach alter japanischer Tradition soll ein kreisförmig ausgelegtes Seil den Sumo-Ring bilden. Schauen wir uns an einem Kreis einmal alle wichtigen Größen an: Die Kreislinie hat an jeder Stelle den gleichen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises. Dieser Abstand wird Radius r genannt. Der Durchmesser d ist doppelt so lang wie der Radius, beträgt also zweimal r. Anders gesagt ist die Hälfte vom Durchmesser genau der Radius. Die Länge der Kreislinie wird als Umfang des Kreises bezeichnet und mit zwei Pi mal den Radius berechnet oder durch den Durchmesser R ausgedrückt: Zwei Pi mal die Hälfte vom Durchmesser. Wenn wir den Faktor Zwei mit der Zwei aus dem Nenner kürzen, erhalten wir vereinfacht Pi mal den Durchmesser. Innerhalb des Kreises liegt die Kreisfläche. Der Flächeninhalt des Kreises berechnet sich durch Pi mal r zum Quadrat. Lass uns auch hier für den Radius noch die Hälfte des Durchmessers verwenden. Dabei müssen wir auf jeden Fall Klammern setzen, denn das Quadrat bezieht sich auf den Zähler und auf den Nenner. Zurück zum Sumo-Ring: Der Durchmesser des Kreises beträgt nach japanischem Standard 4,55 Meter. Welche Länge muss dann das Seil haben? Dafür müssen wir den Umfang des Kreises berechnen. Wir verwenden die Umfangformel mit dem Durchmesser und setzen den gegebenen Wert für den Durchmesser ein. Mithilfe des Taschenrechners erhalten wir circa 14 Meter und 29 Zentimeter für die Länge des Seils. In einem richtigen Sumo-Ring ist außerdem der Boden mit einer dünnen Schicht Sand bedeckt. Um abzuschätzen, wie viel Sand benötigt wird, berechnen wir noch den Flächeninhalt des Kreises. Dazu verwenden wir die Flächeninhaltsformel mit dem Durchmesser und setzen wieder den gegebenen Wert für den Durchmesser ein. Achtung - das Quadrat am Durchmesser bezieht sich auf die Zahl und auf die Einheit! So erhalten wir im Zähler rund 20,70 Quadratmeter. "Geben wir den gesamten Ausdruck in den Taschenrechner ein, erhalten wir gute 16 Quadratmeter." Lass uns noch ein weiteres Beispiel untersuchen! Wie wäre es, wenn dir der Umfang vorgegeben wäre und du damit den Radius und den Flächeninhalt berechnen müsstest? Dann beginnst du mit der Formel für den Umfang, in welcher der Radius vorkommt. Diesmal setzen wir den Wert für den Umfang in die Gleichung ein. Indem wir durch zwei Pi teilen, lösen wir die Gleichung nach dem gesuchten Radius auf. Wir kürzen noch mit Zwei und ermitteln das Ergebnis mit unserem Taschenrechner! Den Flächeninhalt können wir nun berechnen, indem wir in die Flächeninhaltsformel mit dem Radius den bestimmten Radius einsetzen. Als erstes lösen wir die Klammer auf. Das ergibt rund Pi mal 23 Komma Null Quadratmeter und das sind mehr als 72 Quadratmeter. Wir fassen zusammen: Jeder Kreis besitzt eine Kreislinie und eine Kreisfläche. Der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie ist der Radius r und der Durchmesser d ist der größtmögliche Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Die Länge der Kreislinie wird Kreisumfang U genannt und die Größe der Kreisfläche ist der Flächeninhalt A des Kreises. Oftmals wird dir in deinen Aufgaben der Radius oder der Durchmesser gegeben sein. Hast du den Radius, so kannst du damit den Durchmesser, den Umfang und den Flächeninhalt des Kreises bestimmen. Mit dem Durchmesser andererseits, kannst du den Radius, den Umfang und den Flächeninhalt ermitteln. Sobald du eine der Größen gegeben hast, kannst du damit jede andere Größe ausrechnen. Der Ring ist fertig - los geht's! Oh, wow, das Leichtgewicht geht ja ziemlich ab. Aber Yogi Mathemashi weiß seinen Umfang richtig einzusetzen.

Kreis – Umfang und Flächeninhalt Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreis – Umfang und Flächeninhalt kannst du es wiederholen und üben.

• Bestimme die korrekten Aussagen zu den Eigenschaften eines Kreises.

  Tipps

  Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie.

  Die Formeln für Flächeninhalt und Umfang enthalten beide den Radius $r$ des Kreises. Dieser kann wiederum durch den Durchmesser $d$ ausgedrückt werden.

  Lösung

  Dieses Aussagen sind falsch:

  • Der Radius eines Kreises ist doppelt so lang wie sein Durchmesser.

  Der Radius eines Kreises ist der Abstand des Kreismittelpunkts zu jedem Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Damit ist der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius eines Kreises.

  • Die Länge der Kreislinie heißt Flächeninhalt des Kreises.

  Die Länge der Kreislinie wird Umfang genannt.

  Dieses Aussagen sind wahr:

  • Alle Punkte des Kreises haben den gleichen Abstand $r$ vom Kreismittelpunkt.
  • Flächeninhalt und Umfang eines Kreises können entweder durch den Durchmesser oder den Radius des Kreises ausgedrückt werden.

  Die Formeln für Flächeninhalt und Umfang enthalten beide den Radius $r$ des Kreises. Dieser kann wiederum durch den Durchmesser $d$ ausgedrückt werden:

  $d=2r$

  Durch Einsetzen können die beiden Größen auch durch den Durchmesser ausgedrückt werden.

  • Die Formel für den Flächeninhalt $A$ eines Kreises lautet $A= \pi r^2$.

• Berechne den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises.

  Tipps

  Der Radius eines Kreises ist der Abstand des Kreismittelpunkts zu jedem Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Damit ist der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius eines Kreises.

  Die Länge der Kreislinie heißt Umfang des Kreises und wird berechnet, indem man den Durchmesser des Kreises mit $\pi$ multipliziert. Du kannst den Umfang aber auch über den Radius ausrechnen.

  Um das Quadrat einer Länge zu bestimmen, musst du die Zahl und die Einheit quadrieren:

  $(2~\text{m})^2=2^2~\text{m}^2 = 4~\text{m}^2$.

  Lösung

  Der Lückentext kann folgendermaßen ausgefüllt werden:

  • Der Durchmesser $d$ eines Sumoringes beträgt $4,55~\text{m}$. Daraus kann der Radius $r$ berechnet werden, denn es gilt:
  • $r=\frac{d}{2}$, also $r=\frac{4,55~\text{m}}{2} = 2,275~\text{m}$.

  Der Radius eines Kreises ist der Abstand des Kreismittelpunkts zu jedem Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Damit ist der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius eines Kreises.

  • (...) Dazu kann der Umfang eines Kreises berechnet werden:

  Die Länge der Kreislinie heißt Umfang des Kreises und wird so berechnet:

  • $U=2 \pi \cdot r$, hier also $U= 2 \pi \cdot 2,275~\text{m}\approx14,29~\text{m}$.

  Die Fläche eines Kreises berechnet sich folgendermaßen:

  • (...) $A= \pi r^2$, in unserem Fall also $A= \pi \cdot (2,275~\text{m})^2= 16,26~\text{m}^2$.

• Bestimme den Flächeninhalt eines Kreises aus seinem Umfang.

  Tipps

  Mit dem gegebenen Umfang kannst du den Radius bestimmen, den du wiederum in die Formel des Flächeninhalts einsetzen kannst.

  Lösung

  Hier ist nach einer Möglichkeit gesucht, den gegebenen Umfang mit der Fläche eines Kreises in Verbindung zu bringen. Da wir wissen, dass der Radius $r$ in den Formeln für beide Größen vorkommt, können wir ihn als „Bindeglied“ nutzen, indem wir über einen Zwischenschritt erst den Radius und mit diesem dann die Kreisfläche berechnen.

  • Zuerst setzt du den gegebenen Umfang in die Gleichung ein: $U=106,81~\text{cm}=2 \pi \cdot r$.

  Mit dem gegebenen Umfang kannst du den Radius bestimmen, den du wiederum in die Formel des Flächeninhalts einsetzen kannst.

  • Dann teilst du durch $2\pi$:

  $\begin{array}{llll} 106,81~\text{cm}&=2 \pi \cdot r & \vert : 2 \pi \\ \frac{106,81~\text{cm}}{2 \pi} &=& r & \end{array}$

  • Und berechnest den Radius $r$: $r\approx 17 ~\text{cm}$.

  Um den Radius aus dieser Formel zu berechnen, teilst du durch $2 \pi$ und rechnest aus.

  Mit dem so bestimmten Radius kannst du anschließend den Flächeninhalt berechnen.

  • Den Radius kannst du in die Formel des Flächeninhalts einsetzen: $A=\pi \cdot r^2=\pi \cdot (17 ~\text{cm})^2$.
  • Und schließlich ausrechnen: $A\approx908 ~\text{cm}^2$.

• Bestimme die Kenngrößen der Kreise.

  Tipps

  Den Radius $r$ kannst du aus dem Durchmesser $d$ bestimmen:

  $r=\frac{d}{2}$.

  Den Radius kannst du auch aus dem Umfang bestimmen.

  $\begin{array}{llll} U&=&2 \pi \cdot r & \vert : 2 \pi \\ r &=& \frac{U}{2 \pi} &\\ \end{array}$

  Lösung

  Die fehlenden Größen der Tabelle kannst du wie folgt berechnen.

  Den Radius $r$ bestimmst du aus dem Durchmesser $d$

  $r=\frac{d}{2}$, $r_1=\frac{6 ~\text{cm}}{2}=3 ~\text{cm}$

  oder aus dem Umfang $U$.

  $\begin{array}{llll} U_3= 15~\text{cm}&=&2 \pi \cdot r_3 & \vert : 2 \pi \\ \frac{15~\text{cm}}{2 \pi} &=& r_3 &\\ 2,39~\text{cm} &\approx & r_3 \end{array}$

  Den Durchmesser $d$ bestimmt du aus dem Radius:

  $d=2r$, z.B. $d_3=2\cdot 2,39~\text{cm}= 4,78~\text{cm}$.

  Den Umfang aus dem Radius:

  $U=2 \pi r$, also

  $\begin{array}{lll} U_1&=&2 \pi \cdot 3~\text{cm}\\ U_1&\approx&18,85 ~\text{cm}\\ U_2&=&2 \pi \cdot 6~\text{cm}\\ U_2&\approx&37,70~\text{cm}\\ \end{array}$

  Und den Flächeninhalt $A$ aus dem Radius:

  $A=\pi r^2$, also

  $\begin{array}{lll} A_2&=&\pi(6~\text{cm})^2\\ A_2&\approx&113,10~\text{cm}^2\\ A_3&\approx&\pi (2,39~\text{cm})^2\\ A_3&\approx& 17,95~\text{cm}^2\\ \end{array}$

  Um $A_3$ zu berechnen, setzt du hier den vorher aus dem Umfang $U_3$ bestimmten Radius $r_3\approx2,39~\text{cm}$ ein.

• Forme die Gleichungen um.

  Tipps

  Der Durchmesser $d$ ist das Doppelte des Radius $r$:

  $d=2r$.

  Lösung

  Folgende Ausdrücke gehören zusammen.

  • Der Radius ist der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Kreislinie.

  Der Durchmesser $d$ ist das Doppelte des Radius $r$:
  $d=2r$.

  • Der Durchmesser ist der größtmögliche Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie und somit gleich dem doppelten Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Kreislinie.

  Durch Einsetzen von $d=2r$ erhältst du außerdem die folgenden Gleichungen für Umfang und Flächeninhalt:

  • Für den Umfang $U$ gilt $U= 2 \pi r= \pi d$.
  • Für den Flächeninhalt $A$ eines Kreises gilt $A=\pi r^2=\frac{\pi}{4} d^2$.

• Erarbeite die Berechnung von Kreissektoren.

  Tipps

  Nach einer Konvention wird der Innenwinkel eines Kreises in $360$ gleich große Teile zerlegt. Jedes dieser Teile nennt man ein „Grad“.

  Lösung

  Die Lücken können so vervollständigt werden:

  • Ein Anteil einer Kreisfläche heißt Kreissektor. Diese Fläche bestimmst du über den dabei aufgespannten Winkel $\alpha$. Der komplette Kreis spannt dabei einen Winkel von $360^{\circ}$ auf.

  Nach einer Konvention wird der Innenwinkel eines Kreises in $360$ gleich große Teile zerlegt. Jedes dieser Teile nennt man ein „Grad“.

  • Die Fläche des Kreissektors $A_{S}$ bestimmst du, indem du den Anteil des aufgespannten Winkels $\alpha$ am Gesamtwinkel von $360^{\circ}$ mit der normalen Formel der Kreisfläche multiplizierst. $A_{S}=\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2$
  • Ein Viertel eines Kreises hat einen aufgespannten Winkel von $90^{\circ}$.

  Ein Viertel von $360^{\circ}$ beträgt $90^{\circ}$.

  • Setzt du das in die obige Formel ein, erhältst du: $A_{S}=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2$.

  Den Radius des Kreises berechnest du mit der bekannten Formel:

  • (...) $r=\frac{d}{2}=\frac{30~\text{cm}}{2}=15~\text{cm}$.

  Durch Einsetzen erhältst du das Kreissegment:

  • (...) $A_{S}=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi (15~\text{cm})^2=\frac{1}{4} \cdot \pi (15~\text{cm})^2\approx 176,71~\text{cm}^2$.

Wie berechnet man die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser?

Welche Fläche hat ein Kreis mit 30 cm Durchmesser?

Wie berechnet man die Fläche eines Kreises Wikipedia?