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Jasmine Zimmermann, 23 Juli 2013, erstellt mit GeoGebra Satz des Pythagoras. In allen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächen der Katheten- Quadrate gleich der Fläche des Quadrates der Hypotenuse. Mit Hilfe der rechten Abbildung, lässt sich dies einfacher erklären: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche a² (Quadrat über der Kathete a) ist zusammen mit der Fläche b² (Quadrat über der Kathete b) genauso groß wie die Fläche c² (Quadrat über der Hypotenuse c). Packt man diese Definition in eine mathematische Formel, lautet der Satz des Pythagoras: a² + b² = c² Die linke Abbildung zeigt dies anhand von Zahlenbeispielen. Du kannst die Punkte A, B und C verschieben. Mit dieser Formel kann man nun, falls nur zwei Längen von Seiten in einem Dreieck gegeben sind, die dritte Seitenlänge berechnen. Dafür muss man sie nach der gesuchten Seite umstellen. Das Beispiel zeigt die Berechnung von der Seitenlänge a: Übrigens, die Umkehrung des Satzes des Pythagoras gilt auch: Wenn für die Seiten a,b und c eines Dreiecks ABC die Gleichung a² + b² = c² gilt, ist das Dreieck rechtwinklig mit c als Hypotenuse! steigere dein Selbstvertrauen im Unterricht, indem du vor Tests und Klassenarbeiten mit unseren unterhaltsamen interaktiven Übungen lernst. lerne unterwegs mit den Arbeitsblättern zum Ausdrucken – zusammen mit den dazugehörigen Videos ermöglichen diese Arbeitsblätter eine komplette Lerneinheit. 24h-Hilfe von Lehrer*innen, die immer helfen, wenn du es brauchst. 89 % der Schüler*innen verbessern ihre Noten mit sofatutor Mit schnellen Schritten zur kostenlosen Testphase!30 Tage kostenlos testen Testphase jederzeit online beenden Sie sind Lehrkraft? Hier entlang! Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule. Kostenlos testenBewertung Du musst eingeloggt sein, um bewerten zu können. Wow, Danke! Die Autor*innen Team Digital Satz des Pythagoras – Beweis lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse Grundlagen zum Thema Satz des Pythagoras – BeweisInhalt
Satz des PythagorasDer Satz des Pythagoras besagt: Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden Kathetenquadrate genau gleich dem Hypotenusenquadrat. Das schreibt man meistens als Formel auf. Die beiden Katheten werden mit $a$ und $b$ bezeichnet, die Hypotenuse mit $c$. Der Satz des Pythagoras kann damit durch die folgende Formel ausgedrückt werden: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ In diesem Video wird dir ein Beweis dieses Satzes verständlich erklärt. Der Beweis des Satzes stellt sicher, dass der Satz für beliebige rechtwinklige Dreiecke gilt. Satz des Pythagoras – geometrischer BeweisMit geeigneten Bauklötzen in der Form kongruenter rechtwinkliger Dreiecke sowie einem Quadrat der passenden Größe kannst du die folgende Figur zusammensetzen: Die Kantenlänge des kleinen Quadrats im Inneren der Figur entspricht der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, also $c$. Die beiden Katheten $a$ und $b$ ergeben nebeneinandergelegt die Seitenlänge $(a+b)$ des äußeren Quadrats. Wir berechnen den Flächeninhalt $A_{\Box}$ des äußeren Quadrats: $A_{\Box} = (a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$ In der rechten Gleichung haben wir die binomische Formel verwendet. Da sich das äußere Quadrat aus den vier kongruenten Dreiecken und dem inneren Quadrat zusammensetzt, können wir seinen Flächeninhalt auch durch die Flächeninhalte dieser einzelnen Figuren beschreiben. Den Flächeninhalt jedes der rechtwinkligen Dreiecke können wir mit der Formel $A_\Delta = \frac{1}{2}gh$ berechnen. Hierbei ist $g$ die Grundseite und $h$ die zugehörige Höhe des Dreiecks. Bei einem rechtwinkligen Dreieck können wir $g=a$ und $h=b$ wählen – oder umgekehrt. Der Flächeninhalt jedes der rechtwinkligen Dreiecke ist also: $A_\Delta = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ Bevor wir den Flächeninhalt des inneren Quadrats bestimmen, stellen wir sicher, dass die Figur im Inneren wirklich ein Quadrat ist. Da die vier Dreiecke, die an den Seiten dieser inneren Figur anliegen, zueinander kongruent sind, haben alle vier Seiten der inneren Figur dieselbe Seitenlänge, nämlich $c$. Ein Viereck mit vier gleich langen Seite nennt man Raute. Ein Quadrat ist eine sehr spezielle Raute, bei der nämlich alle Innenwinkel dieselbe Winkelgröße von $90^\circ$ haben. Die Winkelgröße des Innenwinkels der inneren Figur können wir mithilfe der Winkelsumme im Dreieck herausfinden. In dem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Summe der Winkel $\alpha+\beta=90^\circ$. An dem gestreckten Winkel, der einem Eckpunkt des inneren Vierecks anliegt, ergeben sich ebenfalls die Winkel $\alpha$ und $\beta$. Der Innenwinkel $\delta$ des inneren Vierecks bildet zusammen mit den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ einen gestreckten Winkel. Nun können wir die Winkelgröße des Innenwinkels $\delta$ ausrechnen. Für den gestreckten Winkel erhalten wir: $180^\circ = \alpha+\beta+\delta$ Lösen wir die Gleichung nach $\delta$ auf, so erhalten wir für jeden Innenwinkel des inneren Vierecks: $\delta = 90^\circ$ Das innere Viereck hat demnach vier gleich lange Seiten und seine Innenwinkel sind rechte Winkel. Das Viereck ist also ein Quadrat. Sein Flächeninhalt beträgt $c^{2}$, denn seine Seitenlänge ist $c$. Setzen wir den Flächeninhalt $A_{\Box}$ des äußeren Quadrats mit der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Figuren gleich, so erhalten wir: $A_{\Box} = 4 \cdot A_{\Delta} + c^{2}$ Nun setzen wir $A_{\Box} = a^{2}+2ab+b^{2}$ ein und erhalten: $a^{2}+2ab+b^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^{2} = 2ab+c^{2}$ Wir subtrahieren auf beiden Seiten $2ab$ und erhalten die Formel aus dem Satz des Pythagoras: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ Satz des Pythagoras - ZusammenfassungIn diesem Video wird dir ein geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras verständlich erklärt. Mit diesem Beweis kannst du begründen, dass der Satz des Pythagoras für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt. Zu diesem Video gibt es interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt, sodass du dein neues Wissen sofort ausprobieren kannst. Transkript Satz des Pythagoras – BeweisMoritz sitzt gerade an seinen Hausaufgaben zum Satz des Pythagoras und beobachtet seine kleine Schwester Sina, als plötzlich Heureka! Die Anordnung von Sinas Bauklötzen inspiriert Moritz zu einem Beweis für den Satz des Pythagoras. Wenn wir beweisen, dass der Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck mit beliebig langen Seiten gilt, dann gilt er für alle rechtwinkligen Dreiecke. Du erinnerst dich: Der Satz des Pythagoras besagt, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der beiden Kathetenquadrate dem Hypotenusenquadrat entspricht. Mit Variablen schreiben wir das als 'a' Quadrat plus 'b' Quadrat gleich 'c' Quadrat. Diesen Satz wollen wir, mit ein bisschen Logik und bekannten Gesetzen, beweisen. Wenn wir den Satz des Pythagoras erst einmal bewiesen haben, können wir mit ihm unbekannte Seitenlängen berechnen. Schau mal: Sinas Klötze bilden ein großes Quadrat, das aus 4 rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt ist, und ein kleineres Quadrat. Jede Seite des großen Quadrats setzt sich zusammen aus den Längen 'a' und 'b'. Um den Satz des Pythagoras zu beweisen, werden wir den Flächeninhalt des großen Quadrates mithilfe seiner Seitenlängen berechnen. Danach können wir ihn mit dem Flächeninhalt der Figuren, aus denen das Quadrat besteht, gleichsetzen. Du weißt ja, den Flächeninhalt eines Quadrats berechnet man, indem man seine Seitenlänge quadriert. Welche Seitenlänge hat das große Quadrat? a plus b. Das Quadrat hat also eine Fläche von Klammer auf, 'a' plus 'b', Klammer zu, zum Quadrat. Wenn man etwas quadriert, dann multipliziert man es mit sich selbst. Unsere Rechnung bedeutet also lediglich: In Klammern 'a' plus 'b' mal in Klammern 'a' plus 'b'. Hast du bemerkt, dass wir hier zwei Binome multiplizieren? Wir benutzen also die 1. binomische Formel: (a+b) zum Quadrat ist gleich a Quadrat plus 2 ab plus b Quadrat. Die Fläche des großen Quadrats ist also gleich 'a' Quadrat plus '2ab' plus 'b' Quadrat. Die gleiche Fläche muss herauskommen, wenn wir die Flächen der Dreiecke und des kleinen Quadrats addieren. Bestimmen wir also zuerst die Fläche der Dreiecke. Sind diese Dreiecke kongruent? Wenn wir sie übereinanderlegen, sehen wir, dass sie tatsächlich deckungsgleich sind. Wir müssen also nur die Fläche eines Dreiecks berechnen. Wie war nochmal die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks? Einhalb Grundseite mal Höhe. Für die Grundseite können wir 'a' einsetzen und für die Höhe 'b'. So erhalten wir einhalb 'ab'. Das ist die Fläche für EINS der Dreiecke; für alle vier lautet sie also: 4 mal einhalb 'ab'. Wir vereinfachen das und erhalten für die Fläche der vier Dreiecke: '2ab'. Widmen wir uns nun dem kleinen Quadrat. Woher wissen wir denn eigentlich, dass das auch wirklich ein Quadrat ist? Wenn eine Figur vier gleichlange Seiten und vier rechte Winkel besitzt, ist sie ein Quadrat. Da die vier Dreiecke kongruent sind, sind auch diese vier Seiten hier gleich lang. Wir nennen diese Seiten 'c'. Okay, das Viereck hat also vier gleichlange Seiten, aber wie sieht es mit den rechten Winkeln aus? Um diese Winkel zu bestimmen, erinnern wir uns an die Regel für die Winkelsumme in einem Dreieck, die besagt, dass die Innenwinkel eines Dreiecks zusammen 180 Grad ergeben. Da wir bereits wissen, dass das Dreieck einen Winkel von 90 Grad besitzt, müssen diese beiden spitzen Winkel hier zusammen 90 Grad groß sein. Da die Dreiecke kongruent sind, müssen ihre entsprechenden Winkel gleich sein. Deswegen ergeben diese beiden Winkel addiert ebenfalls 90 Grad. Und da das hier ein gestreckter Winkel von 180 Grad ist, muss dieser Winkel hier aus der inneren Figur also 90 Grad groß sein. Die innere Figur besitzt 4 rechte Winkel, also handelt es sich dabei tatsächlich um ein Quadrat. Demnach können wir den Flächeninhalt ganz flink berechnen, indem wir die Seitenlänge quadrieren. Die Seitenlänge ist 'c', der Flächeninhalt also 'c' Quadrat. Du erinnerst dich, dass die Fläche des großen Quadrats gleich der Fläche der vier Dreiecke plus der Fläche des kleinen Quadrats ist. Die Fläche des großen Quadrats ist 'a' Quadrat plus '2ab' plus 'b' Quadrat. Die Fläche der vier Dreiecke ist '2ab' und die des kleinen Quadrats ist 'c' Quadrat. Schau mal, '2ab' taucht auf beiden Seiten der Gleichung auf. Wir können also auf beiden Seiten '2ab' subtrahieren. Übrig bleibt 'a' Quadrat plus 'b' Quadrat gleich 'c' Quadrat. a und b sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und c seine Hypotenuse. Das beweist, dass der Satz des Pythagoras für ALLE rechtwinkligen Dreiecke gilt. Fassen wir den Beweis noch mal zusammen. Am Anfang hatten wir eine Figur aus einem kleineren Quadrat in einem größeren. Wir haben den Flächeninhalt des großen Quadrats berechnet und ihn gleichgesetzt mit der Summe der Flächen der Figuren, aus denen es zusammengesetzt ist. So haben wir die Gleichung 'a' Quadrat plus 'b' Quadrat gleich 'c' Quadrat erhalten. Dadurch können wir sicher sein, dass der Satz des Pythagoras für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt. Mit dem Satz des Pythagoras kann man die Länge einer Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn man die beiden anderen Seitenlängen kennt. Ob Sina Moritz als nächstes bei den Chemie-Hausaufgaben helfen wird? WEITERLESEN6 Kommentare6 Kommentare
Mehr Kommentare Satz des Pythagoras – Beweis ÜbungDu möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Beweis kannst du es wiederholen und üben.
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Wer hat A Quadrat plus b Quadrat gleich c Quadrat erfunden?
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