Was ist der unterschied zwischen direkter und indirekter proportionalität

Die indirekte Proportionalität ist, was die Schreibweise auch schon andeutet, die umgekehrte direkte Proportionalität.

Erkennungsmerkmale

Indirekte Proportionalität kommt häufig in der Physik vor. Um sie zu erkennen, gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Wertetabelle

Größe xxx

Zahl der Arbeiter

1

2

4

8

10

20

Größe yyy

Zeit in Stunden

40

20

10

5

4

2

Produkt x⋅yx\cdot yx⋅y

Arbeiter %%\cdot%%⋅\cdot⋅ Stunden

40

40

40

40

40

40

Ist das Produkt von zusammenhängenden Werten konstant, sind die beiden Größen zueinander indirekt proportional. Dies wird auch als produktgleich bezeichnet.

Graphische Darstellung

Zeichnet man die Wertepaare in ein Koordinatensystem ein oder stellt eine indirekt proportionale Funktion dar, so erhält man eine Hyperbel. Hierbei ist aber Vorsicht angebracht, da auch nicht indirekt proportionale Funktionen ein hyperbelähnliches Aussehen haben können.

Nimmt man auf der x-Achse jedoch den Kehrwert, erhält man eine Ursprungsgerade, da nun eine direkte Proportionalität dargestellt wird.

Was ist indirekte Proportionalität (auch umgekehrte Proportionalität oder Antiproportionalität genannt)? Sagen wir’s mal so, je schneller du läufst, umso weniger Zeit brauchst du bis ins Ziel, oder? Eben diesen Zusammenhang nennen wir indirekte Proportionalität. Er ist dir intuitiv sofort klar. Aber wie erkennst du die indirekte Proportionalität und wie rechnest du mit ihr? Beides erkläre ich dir hier, an möglichst einfachen Beispielen.

Die indirekte Proportionalität ist ein Zusammenhang zwischen zwei Größen.

Beispiele:

• Je höher die Geschwindigkeit – desto kürzer die Dauer.
• Je mehr Wasserpumpen – desto schneller ist ein Schwimmbecken voll.
• Je mehr Bauarbeiter – desto früher ist ein Haus fertig.
• Je größer die Kisten – desto weniger passen in den LKW.
• Je teurer die Süßigkeiten – desto weniger davon kannst du dir für dein Taschengeld kaufen.

Aber Achtung!

Für die indirekte Proportionalität reicht es nicht, dass die eine beliebige Größe größer wird und die andere kleiner. Keine Indirekte Proportionalität besteht zum Beispiel zwischen der Zeit und einer Strecke, die man bis zu einem Ziel noch zurücklegen muss.

Wenn du danach noch Fragen hast, dann lies im Text einfach weiter. Ich werde dich nämlich, und das könnte dich besonders interessieren, auf einige Fehlerquellen hinweisen, die meiner Unterrichtserfahrung nach, in Klassenarbeiten immer wieder auftreten. So kannst du diese Fehler dann vermeiden.

Indirekte Proportionalität: Welches Grundwissen musst du dir aneignen?

Woran erkenne ich ob zwei Größen indirekt Proportional sind?

Überlege dir, ob es einen logischen Grund gibt, dass immer wenn sich die eine Größe verdoppelt, sich die andere halbiert.

Reicht das schon aus?

Streng genommen reicht es nicht aus. Beispiele, bei denen es eben nicht ausreicht, lassen sich durchaus konstruieren.

Du müsstest eigentlich immer überprüfen, ob zum x-fachen einer Größe das 1/x-fache der anderen Größe gehört. Aber viel einfacher ist es, die indirekte Proportionalität über die Produktgleichheit zu zeigen.

Was heißt „Produktgleich“?

„Produktgleich“ heißt, dass das Produkt von zwei zusammengehörenden Größen bei indirekter Proportionalität immer konstant ist.

Beispiel 1:

Das Produkt ist also immer 40. X und Y sind daher Indirekt Proportional.

Beispiel 2 – „Fahrten nach München“:

Du siehst, wenn du die Geschwindigkeit mit der Dauer multiplizierst, kommt immer 100 heraus.

5 • 20 = 100 Stunden

10 • 10 = 100 Stunden

20 • 5 = 100 Stunden

50• 2 = 100 Stunden

100 • 1 = 100 Stunden

200 • 30 Min = 6000 Min = 100 Stunden

1000 • 6Min = 6000 Min = 100 Stunden

Was mache ich wenn keine Werte gegeben sind?

Dann kannst du nicht rechnen sondern musst überlegen: Halbiert sich y wenn sich x verdoppelt? Bei unseren fünf Beispielen aus der Einleitung ist dies der Fall.

• Wenn ich doppelt so schnell fahre, brauche ich nur halb so lang, um ans Ziel zu kommen.
• Bei doppelt so vielen Wasserpumpen ist das Schwimmbecken schon nach der halben Zeit voll.
• Doppelt so viele Bauarbeiter brauchen nur halb so lang um ein Haus zu bauen.
• Wenn die Kisten doppelt so groß sind, passen nur halb so viele in den LKW.
• Von einer doppelt so teuren Süßigkeit kannst du dir von deinem Taschengeld nur halb so viele kaufen.

Aber Achtung!

Die Wirklichkeit hält sich nicht immer präzise an die Mathematik.

• Ist die Kiste zu groß, passt sie irgendwann gar nicht mehr in den LKW, wir wollen sie ja nicht zerschneiden.
• Ob 7.000.000.000 Bauarbeiter wirklich schneller sind, als hundert, das darf doch bei den meisten Häusern auch bezweifelt bezweifelt werden.
• Auch ein Schwimmbecken hat nicht ewig viel Platz, um immer mehr Pumpen bauen zu können.

Bei Aufgaben aus der „wirklichen Welt“ musst du also immer überlegen, ob du solche Ungenauigkeiten vernachlässigen darfst oder nicht. Manchmal kann man darüber auch durchaus unterschiedlicher Meinung sein. Zu spitzfindig solltest du aber auch nicht sein.

Wie schreibe ich das alles auf?

Das Zeichen für die indirekte Proportionalität ist „~“.

Wir schreiben zum Beispiel:

• Geschwindigkeit ~ Dauer (In Worten: Die Geschwindigkeit ist indirekt proportional zur Dauer.)
• A ~ B (In Worten: A ist indirekt proportional zu B).

Kann ich das veranschaulichen?

Du kannst die eine Größe als X-Achse und die andere als Y-Achse verwenden und so den Zusammenhang graphisch darstellen. Dabei wird als Graph eine „Hyperbel“ entstehen. Wie eine Hyperbel aussehen kann, wird dir auf Seite LEARNZEPT.de ausführlich erklärt.

Was versteht man unter einer direkten Proportionalität?

Was bedeutet direkt oder indirekt?

Wie schreibt man indirekte Proportionalität?

Was gibt es für Proportionalitäten?