Was ist 1&1 für ein netz

Inhalt

• Potenzen berechnen
• Potenzgesetze
• Null als Exponent
• Potenzen mit dem Exponenten $0$ berechnen
• Häufig gestellte Fragen zum Thema Null als Exponent

Potenzen berechnen

Wie man Potenzen berechnet, weißt du schon. Das Quadrat einer Zahl ist die Zahl mit sich selbst multipliziert. Die fünfte Potenz einer Zahl ist ein Produkt mit fünf Faktoren, die alle dieselbe vorgegebene Zahl sind. Aber was passiert, wenn eine Null im Exponenten steht? Kann man eine Zahl nullmal mit sich selbst multiplizieren?

Vielleicht hast du sogar schon einmal gehört, dass jede Zahl mit einer Null im Exponenten eins ergibt. Aber warum ist das so? Damit wollen wir uns im Folgenden beschäftigen.

Wir betrachten zunächst Potenzen zur Basis $2$: Setzt du $1$ als Exponenten, so erhältst du $2^{1} =2$. Dann geht es weiter mit $2^{2}=4$, $2^{3}=8$, $2^{4}=16$ usw. Wächst der Exponent der Potenz um $1$, so ändert sich der Wert der Potenz um den Faktor $2$. Denn bei einer Potenz der Basis $2$ gibt der Exponent an, wie oft die Zahl $2$ mit sich selbst multipliziert wird. Umgekehrt wird der Wert der Potenz durch $2$ dividiert, wenn wir den Exponenten um $1$ verkleinern:

$2^4 : 2 = 2^{3}$

Denn $2^{4} = 16$ und $16:2 = 8 = 2^{3}$. Setzen wir die Folge der Potenzen fort, indem wir die Exponenten verkleinern, so erhalten wir $2:2=1$. Da $2^{1} = 2$ ist, muss $2^{0} = 1$ sein. Wir können die Reihe der Potenzen nach links verlängern, indem wir bei jedem Schritt nach links den Exponenten um $1$ verkleinern und den Wert der Potenz durch $2$ dividieren:

Potenzgesetze

Für das Rechnen mit Potenzen gelten verschiedene Potenzgesetze. Dividierst du zwei Potenzen derselben Basis, so musst du die Exponenten subtrahieren. Zum Beispiel ist $\frac{5^{7}}{5^{3}} = 5^{7-3} = 5^{4}$. Dividierst du eine Potenz durch sich selbst, so erhältst du nach diesem Potenzgesetz eine Potenz mit dem Exponenten $0$. Zum Beispiel ist $\frac{5^{3}}{5^{3}} = 5^{3-3} = 5^{0}$. Andererseits ist jede Zahl durch sich selbst geteilt stets $1$. Es ist also $\frac{5^{3}}{5^{3}}=1$ und $\frac{5^{3}}{5^{3}}=5^{0}$. Demnach muss $5^{0}=1$ sein.

Null als Exponent

Ist $x \neq 0$ eine beliebige Zahl (außer $0$) und $m$ ein beliebiger Exponent, so gilt nach dem Potenzgesetz für die Division von Potenzen gleicher Basis:

$1 = \frac{x^m}{x^m} = x^{m-m} = x^{0}$

Denn einen Bruch, bei dem Zähler und Nenner gleich sind, kannst du stets zu $1$ kürzen.

Also gilt für jede Basis $x \neq 0$ das Gesetz über den Exponenten $0$:

$x^{0} = 1$

Potenzen mit dem Exponenten $0$ berechnen

Du kannst die Gleichung $x^{0}=1$ für jede beliebige Zahl $x$ anwenden. Setzt du zum Beispiel $x=y^{6}$ ein, so erhältst du:

$\left(y^6\right)^{0} = x^0 =1$

Du kannst aber auch die Potenzgesetze verwenden, um den Term auszurechnen. Nach dem Gesetz über die Potenz von Potenzen kannst du die Exponenten multiplizieren und erhältst:

$\left(y^6\right)^{0} = y^{(6 \cdot 0)} = y^0 =1$

Die Gleichung $x^{0}=1$ gilt also auch dann, wenn $x=y^{6}$ selbst bereits eine Potenz ist.

Betrachten wir ein anderes Beispiel:

$\left(5x^2y^3\right)^0$

Nach dem Gesetz über $0$ als Exponent ist dieser Term $1$. Mit den Potenzgesetzen kannst du nachrechnen, dass das stimmt. Du verwendest zuerst das Gesetz über die Multiplikation von Potenzen, dann das Gesetz über Potenzen von Potenzen und schließlich für jeden einzelnen Term das Gesetz über $0$ als Exponent:

Du kannst also für jeden Ausdruck, der mit $0$ potenziert wird, die Zahl $1$ einsetzen – egal wie kompliziert der Ausdruck ist. Das vereinfacht manche kompliziert aussehenden Rechnungen sehr.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Null als Exponent

Bilder, Zeichnungen oder Karten stellen oft die Wirklichkeit verkleinert oder vergrößert dar. Der Maßstab beschreibt, wie stark verkleinert oder vergrößert wurde.

Landkarten oder Grundrisse sind Verkleinerungen bestimmter Aspekte der Wirklichkeit.

Technische Zeichnungen oder auch Zeichnungen von Insekten, sind häufig Vergrößerungen der Wirklichkeit.

Ein Maßstab wird über das Verhältnis zweier Zahlen angegeben.

- 1 : 10 bedeutet, dass 1cmauf der Karte 10cmin der Wirklichkeit sind.

- 1 : 100 bedeutet, dass 1cmauf der Karte 100cmin der Wirklichkeit sind. Also entspricht 1cmauf der Karte 1min der Wirklichkeit.

- 1 : 100000bedeutet, dass 1cmauf der Karte 100000cmin der Wirklichkeit sind. 100000cmsind 1km. Also entspricht 1cmauf der Karte 1kmin der Wirklichkeit.

Auf einen Blick:

Berechnen einer Entfernung in der Wirklichkeit

Auf einer Wanderkarte im Maßstab 1 : 25000beträgt die Entfernung zwischen zwei Punkten 6cm. Wie groß ist die Entfernung in Wirklichkeit?

Entfernung berechnen

6cmauf der Wanderkarte entsprechen 1.5kmin Wirklichkeit.

Berechnen einer Entfernung auf der Wanderkarte

Emma hat eine Wanderkarte im Maßstab 1 : 25000.Wie lang ist ein Weg auf der Wanderkarte, der in Wirklichkeit 3kmlang ist?

Länge berechnen

Der Weg ist auf der Wanderkarte 12cmlang.

Berechnen einer Länge in Wirklichkeit

Lena hat eine Abbildung einer Ameise im Maßstab 10 : 1, die 4cm lang ist. Wie lang ist die Ameise in Wirklichkeit?

Länge berechnen

Die Ameise ist 4mmlang.

Berechnen des Maßstabs

5cmauf einer Landkarte entsprechen 12.5kmin der Wirklichkeit. Mit welchem Maßstab ist die Karte gezeichnet?

Maßstab bestimmen

Der Maßstab der Karte beträgt 1 : 250000.

Berechnen der wirklichen Maße

Gegeben ist der Grundriss einer Wohnung im Maßstab 1 : 50. Wie lang und breit ist das Wohnzimmer in der Wirklichkeit?

Wirkliche Maße berechnen

Das Wohnzimmer ist 7.5mlang und 4.8mbreit.

Was bedeutet 1%?

Was ist der 2?

Ist die 31 eine Primzahl?

Ist ein Strich eindimensional?