Was berechnet man mit der Schwingungsgleichung?

Grundwissen

Das Wichtigste auf einen Blick

• Ob eine Schwingung harmonisch ist wird durch eine der beiden folgenden Bedingungen festgelegt.
  A: Die Bewegung des schwingenden Körpers stimmt mit der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung überein und kann deshalb durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion, z.B. \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) beschrieben werden.
  B: Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper ist entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage, kurz \({{ F}_{{\rm{rück}}}} =  - k \cdot y\). Wir sprechen dabei vom sogenannten linearen Kraftgesetz.
• Erfüllt eine Schwingung eine dieser beiden Bedingungen, so erfüllt sie immer auch die andere.

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Eine wichtige Sonderform der Schwingung ist die harmonischen Schwingung. Die harmonische Schwingung, die manchmal etwas salopp auch als Sinusschwingung bezeichnet wird, verläuft nicht nur periodisch und besitzt eine eindeutige Gleichgewichtslage, sondern erfüllt noch eine weitere Bedingung:

Eine Schwingung heißt harmonische Schwingung, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllt.

Bedingung A

Die Bewegung des schwingenden Körpers stimmt mit der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung überein und kann deshalb durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion, z.B. \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) beschrieben werden.

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Bedingung B

Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper ist entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage, kurz \({{ F}_{{\rm{rück}}}} =  - k \cdot y\). Wir sprechen dabei vom sogenannten linearen Kraftgesetz.

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Erfüllt eine Schwingung eine dieser beiden Bedingungen, so erfüllt sie immer auch die andere.

Typische Beispiele

Harmonische Schwingungen werden (zumindest bei kleinen Auslenkungen) von einem Federpendel, einem Feder-Schwere-Pendel oder einem Fadenpendel ausgeführt. Exaktere Überlegungen hierzu findest du in den entsprechenden Artikeln.

Die Projektion einer Kreisbewegung wird durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion beschrieben

Joachim Herz Stiftung

Wer sich mit trigonometrischen Funktionen auskennt erkennt in Abb. 1 schnell, dass es sich bei dem Graphen wahrscheinlich um den Graph einer Sinusfunktion handelt. Dass dies wirklich so ist, kann man mit Hilfe der Mathematik leicht zeigen.

In Abb. 3 siehst du eine Momentaufnahme der Animation in Abb. 1. Du kannst ein rechtwinkliges Dreieck erkennen, mit dem wir arbeiten:

• Der Radius verläuft vom Kreismittelpunkt zum kreisenden Körper und hat die Länge \( \hat y\).
• Die Projektion \(y(t)\) des Radius auf die \(y\)-Achse ist die Auslenkung des schwingenden Körpers zum Zeitpunkt \(t\).
• Der Winkel in der linken unteren Ecke des Dreiecks hat zum Zeitpunkt \(t\) die Weite \(\omega \cdot t\).

Nun bildet der Radius die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks und die Projektion \(y(t)\) die Gegenkathete zum Winkel der Weite \(\omega \cdot t\). Dann liefert der Sinussatzes im rechtwinkligen Dreieck\[\sin\left(\omega \cdot t\right)=\frac{y\left(t\right)}{\hat y}\]Lösen wir diese Gleichung nach \(y\left(t\right)\) auf, so erhalten wir\[y\left(t\right) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \quad(1)\]

Beweis von A \(\Rightarrow\) B

Wir zeigen, dass aus der Eigenschaft einer harmonischen Schwingung als Projektion einer Kreisbewegung die Eigenschaft des linearen Kraftgesetzes folgt, d.h. wir zeigen\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) \Rightarrow F_{\rm{rück}} =-k \cdot y\]Wir beginnen mit dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik\[F=m \cdot a\]Dabei ist bekanntlich

• \(F\) die Gesamtkraft, die auf einen Körper wirkt,
• \(m\) die Masse dieses Körpers und
• \(a\) die Beschleunigung, die der Körper durch die wirkende Kraft erfährt.

Wir zeigen nun, dass für diese Gesamtkraft - hier die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper - gilt \(F=-k \cdot y\).

Bekanntlich ist die Beschleunigung \(a=a\left(t\right)\) die zweite Ableitung der Position \(y=y\left(t\right)\). Mit\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \quad (1)\]erhalten wir mit der Ableitungsregel für die Sinusfunktion und der Kettenregel\[v(t) = \dot y(t) = \omega \cdot \hat y \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]und mit der Ableitungsregel für die Cosinusfunktion und wiederum der Kettenregel\[a(t) = \dot v(t) = - {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \quad(2)\]Setzen wir dies in die Grundgleichung der Mechanik ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray}F &=& m \cdot a\\ &\underbrace{=}_{(2)}& m \cdot \left( { - {\omega ^2} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)\\ &=& - \underbrace {m \cdot {\omega ^2}}_{\; = :\;k} \cdot \underbrace {\hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)}_{\;\mathop = \limits_{(1)} \;y\left( t \right)}\\ &=& - k \cdot y\end{eqnarray}\]

Beweis von B \(\Rightarrow\) A

Wir zeigen, dass aus der Eigenschaft des linearen Kraftgesetzes einer harmonischen Schwingung die Eigenschaft folgt, dass die Schwingung die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung ist, d.h. wir zeigen\[F_{\rm{rück}} =-k \cdot y \Rightarrow y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]Wir beginnen wieder mit dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik\[F=m \cdot a\]Dabei ist bekanntlich

• \(F\) die Gesamtkraft, die auf einen Körper wirkt,
• \(m\) die Masse dieses Körpers und
• \(a\) die Beschleunigung, die der Körper durch die wirkende Kraft erfährt.

Aus der Voraussetzung des linearen Kraftgesetzes folgt zuerst einmal\[F=F_{\rm{rück}} =-k \cdot y \quad (1)\]Weiter ist bekanntlich ist die Beschleunigung \(a=a\left(t\right)\) die zweite Ableitung der Position \(y=y\left(t\right)\) nach der Zeit, d.h. es gilt\[a=\ddot y \quad(2)\]Setzen wir \((1)\) und \((2)\) in die Grundgleichung der Mechanik ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray}F &=& m \cdot a\\ - k \cdot y &=& m \cdot \ddot y\end{eqnarray}\]Zuerst vertauschen wir die beiden Seiten der Gleichung und dividieren beide Seiten der Gleichung durch die Masse \(m\). Dann bedenken wir, dass \(y=y(t)\) eine Funktion der Zeit ist, die als Zeit-Ort-Funktion die harmonische Schwingung beschreibt. Wir erhalten\[\ddot y(t) = -\frac{k}{m} \cdot y(t) \quad (*)\]Diese Gleichung fordert uns nun dazu auf, eine Funktion \(y(t)\) zu finden, deren zweite Ableitung \(\ddot y(t)\) entgegengesetzt und proportional zu \(y(t)\) ist.

Aus der Differentialrechnung wissen wir, dass die zweite Ableitung der Sinusfunktion die "Minus-Sinusfunktion" ist. So findet man leicht, dass z.B. die Zeit-Orts-Funktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\) eine Lösung der Gleichung \((*)\) ist: Setzt man nämlich \(y(t)\) und \(\ddot y(t) =  - \frac{k}{m} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\) in Gleichung \((*)\) ein, so erhält man\[ - \frac{k}{m} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right) =  - \frac{k}{m} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\]eine stets wahre Aussage. Somit ist \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}}  \cdot t} \right)\) eine Lösung der Gleichung \((*)\) und damit eine Zeit-Orts-Funktion des schwingenden Körpers.

Bemerkungen

• In der Gleichung \((*)\) kommt die Funktion \(y(t)\) und mindestens eine ihrer Ableitungen (hier die 2. Ableitung \(\ddot y(t)\)) vor. Man nennt eine solche Gleichung Differentialgleichung. Da die höchste vorkommende Ableitung hier die 2. Ableitung ist, spricht man von einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Schließlich ist die Differentialgleichung homogen, da in der Gleichung \((*)\) kein Summand ohne die Funktion \(y(t)\) oder eine Konstante auftaucht.
• Das Finden von Lösungen von Differentialgleichungen gehört zur Hochschul-Mathematik. Wir sind bescheidener und zeigen meistens nur, dass eine angegebene Funktion eine Differentialgleichung (und ihre Anfangsbedingungen) erfüllt.

Aus diesen Überlegungen sieht man auch, dass es zwischen der Konstanten \(k\), der Masse \(m\) und der Kreisfrequenz \(\omega\) einen Zusammenhang gibt.

Für die Konstante \(k\) aus dem Linearen Kraftgesetz, der Masse \(m\) des harmonisch schwingenden Körpers und der Kreisfrequenz \(\omega\) der Schwingung\[\omega  = \sqrt {\frac{k}{m}} \]und wegen \(\omega  = \frac{{2 \, \pi }}{T}\)\[T = 2 \, \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{k}} \]sowie wegen \(\omega  = 2 \, \pi  \cdot f\)\[f = \frac{1}{{2 \, \pi }} \cdot \sqrt {\frac{k}{m}} \]

Zusammenfassung

In der Animation in Abb. 4 sind noch einmal alle Ergebnisse dieses Artikels graphisch zusammengefasst.

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