Wann sind Geraden senkrecht zueinander berechnen?

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Video-Transkript
Schritt-für-Schritt
Basiswissen
Aufgabenstellung
3. Steigung
4. Geradengleichung
Wie prüft man ob Geraden senkrecht zueinander sind?
Wann sind zwei Geraden senkrecht zueinander?
Wie berechnet man eine Senkrechte zu einer Geraden?
Wann ist etwas senkrecht zueinander?

Video-Transkript

Welche von diesen Linien sind senkrecht? Eine Linie muss senkrecht zu einer der anderen Linien sein. Eine Linie kann nicht zu sich selbst senkrecht sein. Und senkrechte Linien, nur damit du eine Vorstellung davon hast wie senkrechte Linien aussehen. Zwei Linien sind senkrecht, wenn sie sich in einem rechten Winkel schneiden. Also wenn das eine Linie ist, dann sieht eine senkrechte Linie so aus. Eine senkrechte Linie schneidet, aber es ist nicht einfach eine Kreuzung, sondern sie schneidet im rechten Winkel. Also diese zwei Linien sind senkrecht zueinander. Wenn zwei Linien senkrecht zueinander sind, wenn die Steigung dieser orangenen Linie m ist, sagen wir die Gleichung lautet y = mx + 1 zum Beispiel. Dann gibt es einen Schnittpunkt mit der y-Achse - dann ist die Gleichung dieser gelben Linie, der negative Kehrwert von dieser hier. Hier ist die Funktionsgleichung y = -1 mx plus Schnittpunkt mit der Y-Achse Eine andere Art, darüber nachzudenken ist, dass zwei Linien senkrecht sind, wenn das Produkt ihrer Steigung - 1 ergibt. Und so könnte man schreiben: m mal - 1 geteilt durch m, das m kürzt sich dann raus das ergibt - 1. Also lasst uns die Steigung von jeder dieser Linien herausfinden und dann herauszufinden, ob eine Steigung der negative Kehrwert von irgendeiner der anderen ist. Also Linie A, ihre Steigung ist leicht zu verstehen, da es schon die Steigungs-Schnittpunktform ist. Die Steigung ist 3. Die Linie A hat also eine Steigung von 3. Linie B, ist schon in der Standardform. Also ist es nicht zu schwer, sie in die Steigungs-Schnittpunkts-Form umzuwandeln, also lass es uns versuchen. Lass uns jetzt Linie B machen. Linie B, wir haben x plus 3y ist gleich - 21. Lass uns x von beiden Seiten subtrahieren, damit x auf der rechten Seite steht. Dann haben wird 3y ist gleich - x - 21. Und jetzt teilen wir beide Seiten dieser Gleichung durch 3 und wir bekommen y gleich - 1/3 x - 7. Also ist die Steigung dieser Gerade - 1/3. Also hier ist m gleich - 1/3. Wir sehen schon, das ist der negative Kehrwert der anderen. Der Kehrwert von 3 ist 1/3, und dann das Negative davon. Oder du nimmst den Kehrwert von - 1/3 das ist - 3 und das Negative davon, das ist 3. Also sind diese zwei Linien senkrecht zueinander Lass uns die dritte Linie hier drüben ansehen. Linie C: 3x +y= 10. Wenn wir 3x von beiden Seiten subtrahieren, bekommen wir y = 10 - 3x. Also unsere Steigung ist in diesem Fall - 3. Dieser hier ist der negative Wert von diesem hier, die Steigung von dieser hier ist negativ, aber nicht der negative Kehrwert, also ist sie nicht senkrecht. Und diese hier ist der Kehrwert von dieser, aber nicht der negative Kehrwert also ist diese hier nicht senkrecht zu einem der beiden anderen aber Linie A und Linie B sind senkrecht zueinander.

Schritt-für-Schritt

Basiswissen

Für ein xy- und auch ein xyz-Koordinatensystem: hier stehen Anleitung, wie man zu einer gegebenen Geraden eine senkrechte Gerade findet.

Aufgabenstellung

Man hat eine Gerade f in einem xy-Koordinatensystem gegeben. Zu dieser Geraden f gibt es unendlich viele Geraden, die senkrecht zu ihr stehen. Senkrecht meint hier: in einem 90-Grad-Winkel. Gesucht ist eine dieser senkrechten Geraden. Sie wird hier g genannt. Oft ist noch ein Punkt P gegeben, durch den die Gerade g noch gehen soll. Dieser Punkt liegt oft, aber nicht immer auf der Geraden f liegen.

1. Schritt

◦ Gegeben und Gesucht:
◦ Man hat eine Gerade f gegeben, zum Beispiel: y=0,5x+1
◦ Man hat einen Punkt P gegeben, zum Beispiel: P(2|4)
◦ Gesucht ist die Gerade g senkrecht auf f und durch P.

2. Schritt

◦ Normalform herstellen
◦ Für die folgende Anleitung benötigt man die Normalform.
◦ Die Normalform einer Geradengleichung ist: y = mx + b
◦ Hat man eine andere Form, muss man diese erst umwandeln.
◦ Mehr unter => Normalform der Geradengleichung

3. Steigung

◦ Man nimmt die Steigung der gegebenen Geraden f.
◦ In der Normalform ist die Steigung immer das m.
◦ Beispiel: bei y=0,5x+1 ist 0,5 die Steigung.
◦ Davon bildet man den Kehrwert, hier also: 2
◦ Vom Kehrwert bildet man dann die Gegenzahl.
◦ Gegenzahl meint: selbe Zahl nur anderes Vorzeichen.
◦ Die Gegenzahl von 2 ist also die -2.
◦ -2 ist die Steigung der von g.
◦ Siehe auch => Kehrwert bilden
◦ Siehe auch => Gegenzahl

4. Geradengleichung

◦ Nun hat man für die gesuchte Gerade g zwei Angaben:
◦ Man kennt ihre Steigung (hier: 2) und einen Punkt, nämlich: P(2|4).
◦ Es gibt verschiedene Methoden daraus die Geradengleichung aufzustellen.
◦ Für das Beispiel ergibt sich für die Gerade g die Gleichung: y = -2x+8
◦ Anleitung unter => Geradengleichung aus Steigung und Punkt

5. Antwort

◦ Am Ende formuliert man einen Antwortsatz:
◦ Die Gerade g: y=-2x+8 seht senkrecht auf f: y=0,5x+1 ...
◦ und geht durch den Punkt P(2|4).

Wie prüft man ob Geraden senkrecht zueinander sind?

Die Geraden stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn die zugehörigen Richtungsvektoren aufeinander senkrecht stehen. Das ist wiederum genau dann der Fall, wenn das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren null beträgt.

Wann sind zwei Geraden senkrecht zueinander?

Zwei Geraden (oder Strahlen oder Strecken) stehen senkrecht aufeinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden.

Wie berechnet man eine Senkrechte zu einer Geraden?

Die Steigung der gesuchten Geraden lässt sich fast direkt ablesen. Dazu muss man sich erinnern, dass für zwei senkrecht aufeinander stehende Geraden gilt: m₁ · m₂ = -1 (vgl. Schnittpunkte von linearen Graphen). Wir kennen nun m₁ = 2 , somit ist m₂ = -¹/₂ .

Wann ist etwas senkrecht zueinander?

Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich in einem rechten Winkel (90°) schneiden. Man schreibt g ⊥ h oder h ⊥ g. Zum Zeichnen von Senkrechten und zum Überprüfen, ob Geraden senkrecht zueinander stehen, benutzt man oft das Geodreieck.