In welchem Punkt schneiden sich die Diagonalen des Parallelogramms?

Der Abstand zweier paralleler Seiten heißt Höhe h des Parallelogramms. Jedes Parallelogramm besitzt zwei Höhen. Die Seite, zu der die Höhe senkrecht steht, heißt Grundseite g des Parallelogramms (Bild 4).

Jedes Parallelogramm kann durch Zerlegen in ein flächeninhaltsgleiches Rechteck umgewandelt werden.
Der Flächeninhalt des Rechtecks lässt sich mit der Gleichung A=a⋅haberechnen. Da das Parallelogramm den gleichen Flächeninhalt besitzt, kann dieser aus der Grundseite a und der Höhe ha berechnet werden.
Es gilt also auch hier:
A=a⋅ha bzw. A=b⋅hb
Allgemein gilt dann:
A=g⋅ h

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus einer Seitenlänge und der Länge der zugehörigen Höhe.

Da im Parallelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, wird der Umfang des Parallelogramms wie beim Rechteck berechnet:
u = a + b + c + d
bzw. mit a = c und b = d
u = 2(a + b)

Edit: Später rede ich zwar von Quadrat, aber meine eigentlich Rechteck.
Die Vorgehensweise ist aber haargenau Dieselbe!

zuerst müsstest du mal rausfinden welche Eckpunkte nebeneinander liegen.
(Falls man es nicht direkt sieht)
Dazu würde ich ganz einfach mal die Abstände vergleichen.
Du weißt ja dass es letztlich ein Quadrat werden soll.
Und bekanntlich ist die FDiagonale in einem Quadrat länger als jede der Seiten, nicht wahr? :-)

Also würde ich die Verbindungsvektoren von A zu jedem der anderen Punkte betrahcten, deren betrag angucken und gucke welche der Längste.
Jener Verbindungspunkt liegt dann gegenüber im Quadrat und die anderen 2 sind direkte Nachbarn von A.

im weiteren nehme ich einmal an dass du rausgefunden hast dass B und C die Nachbarn von A sind und D gegenüberliegt.

Ansonsten ist die Aufgabe recht leicht:

a)
Bestimme die Winkel zwischen zwischen AB BD, BD DC, DC CA, und CA AB

Musst halt von jeder Ecke aus die Vektoren entlang der 2 anliegenden Seiten bestimmen und den Winkel dazwischen bestimmen.

Was wahrshceinlich einfacher ist:
Zeigen dass alle 4 Seiten gleich lang sind und einer der Winkel 90° ist.

Denn: Sind die Seiten alle gleich, hast du automatisch schon ein parallelogramm. (glaube ich zumindest mal).
Wenn dann einer der Winkel 90° ist, sind es alle :-)

Also Seitenlängen berechnen und sehen dass sie gleich sind.
und, beispielsweise den Winkel zwischen AB und AC ausrechnen.

b) Hier solltest du etwas räumliches vortellungsvermögen haben:
der vektor von A zu D , also die eine diagonale, ist das selbe wie AB+BD.
(oder alternativ AC+CD).
die geradengleichung ist dann

OA+t*AD=OA+t*(AB+BD)

wobei OA einfahc der Ortsvektor von A sein soll. (sprich die gegebenen koordinaten).

gleichermassen ist die andere Diagonale von B nach C, also

BC=BA+AC

Also die Gerade
OB+s*BC=OB+s*(BA+AC)

Nun beide Geraden gleich setzen und den Schnittpunkt bestimmen.

Nun der einfachere Weg:
Du hast wie oben den vektor AD bestimmt.
Weil du weißt dass es ein Quadrat ist, liegt der Shcnittpunkt der Diagonalen auf der Hälfte der Diagonale.

Kannst also vom ursprung zu A und dann den halben Diagonalvektor gehen:
P=OA+0.5*AD

und hast direkt die Koordinaten des Schnittpunkts :-)

c) Nicht mal zwingend Pythagoras.

Wenn K der Punkt auf halber Strecke zwischen A und B ist, dann ist

AKS halb so groß wie ABS.

Und AKS lässt sich wiederum berechnen über

1/2*(1/2AB*1/2BD)

bzw. 1/8*AB*BD

im Übrigen ist AKS ähnlich zu ABD (dem diagonalendreieck).

seiten sind halb so lang wie bei ABD.

21.09.2011, 17:03	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor vom Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms berechnen Hi Leute, habe folgende Aufgabe Ergänzen Sie die Punkte A,B,C zu einem Parallelogramm und bestimmen Sie den Schnittpunkt der Diagonalen. Den Ortsvektor des Punktes D zu bestimmen habe ich hinbekommen Ich hoffe es ist richtig Jetzt habe ich versucht einen vernünftigen Ansatz zu finden für die Bestimmung des Orts-Vektors des Schnittpunktes der Diagonalen. Das die Diagonales eines Parallelogramms sich halbieren soll dabei nicht als bekannt vorausgesetzt werden. Um den Teilungsfaktor herauszufinden hatte ich versucht zu rechnen, das hat aber nicht geklappt Habt ihr einen Tipp, wie ich das Problem besser angehen kann? lg, Christian
21.09.2011, 17:11	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektor vom Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms berechnen möglicherweise so:
21.09.2011, 17:24	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 1/2 waren leider nicht vorgegeben, oder kann man das als gegeben annehmen? Ich habe ersteinmal versucht herauszufinden, wie sich die Diagonalen teilen. Es hat jetzt geklappt mit dem Ansatz das ergab damit kann ich weiterrechnen geht das auch auf einem anderen Weg?
21.09.2011, 17:40	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
eigentlich ist das eine allseits bekannte eigenschaft eines parallelogramms, dass "sich die diagonalen teilen".
22.09.2011, 17:02	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt! Der Lehrer hat heute auch kein Geheimnis mehr aus den 1/2 gemacht. Danke für die Hilfe

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