Band um die erde mathe immer gleich

Die H�he von der Spitze des Seils bis zum Erdboden sei h, r sei der Radius der Erde und a der Abstand von der Seilspitze bis zum Punkt, an dem das Seil die Erde zum ersten Mal wieder ber�hrt. Die Gro�kreisentfernung von diesem Punkt bis zum Fu�punkt unter der Seilspitze sei mit b bezeichnet. φ sei der Winkel zwischen den Verbindungen von Erdmittelpunkt zur Seilspitze und von Erdmittelpunkt zum Ber�hrungspunkt.

Dann gilt:

tan(φ) = a / r und φ = b / r

Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, erh�lt man:

tan(φ) � φ = (a � b) / r = 0,5 m / 6.378.000 m = 1/12.756.000

F�r a � b muss man die H�lfte der Seilverl�ngerung s von 1 Meter einsetzten, weil sich diese auf jede der beiden Seiten des abfallenden Seils gleichm��ig aufteilt. Leider kann man die letzte Gleichung mit dem Winkel φ nicht analytisch l�sen. Deshalb muss man die numerische L�sung durch Iteration gewinnen. Die anschaulichste Iterationsmethode l�uft darauf hinaus, dass man zwei Winkel sucht, bei denen das Ergebnis einmal zu klein und einmal zu gro� ausf�llt. Der Wert f�r die Winkel muss dabei in Bogenma� ausgedr�ckt werden. Man kann zum Beispiel mit φ = 0 und φ = 1 beginnen. Dann bildet man das arithmetische Mittel der beiden Winkel, also 1/2, und bestimmt daf�r das Ergebnis. Daraus l�sst sich sofort schlie�en, ob die gesuchte L�sung zwischen 0 und 1/2 oder zwischen 1/2 und 1 liegt. Das entsprechende Intervall wird wieder halbiert und das Verfahren entsprechend fortgesetzt. Der Bereich, in dem die L�sung f�r φ liegt, wird also mit jedem Schritt halbiert. Man kann aufh�ren, wenn man die gew�nschte Genauigkeit erreicht hat. Die auf 6 signifikante Ziffern genaue L�sung lautet:

φ = 0,00617258 = 0,3536628�

Mit Hilfe von φ l�sst sich nun h und b analytisch berechnen. Es gilt:

cos(φ) = r / (r + h)

Die gesuchte H�he h ergibt sich dann nach Umformen dieser Gleichung und Einsetzen von r und φ:

h = r · (1 / cos(φ) � 1) = 121,505 m

Au�erdem gilt f�r die Gro�kreisentfernung b:

b = r · φ = 39.369 m

Man kann das Seil also erstaunliche 121,505 Meter hochheben und der Fu�punkt ist von den Punkten, an denen das Seil zum ersten Mal die Erde ber�hrt, fast 40 km entfernt.

Was ist verbl�ffend an diesem Mathematik-R�tsel? Intuitiv glauben viele, nach einer Verl�ngerung um einen Meter k�nne man das Seil nicht mal einen Meter hochziehen, weil das Seil dann ja einen Meter nach oben und dann auch noch wieder einen Meter nach unten muss.

Wenn man den Aufwand scheut, �ber die oben beschriebene Iteration zur exakten L�sung zu gelangen, kann man auch auf anderem Wege schneller zu einem sehr genauen Ergebnis kommen. Dazu nutzt man aus, dass sich der Tangens als Potenzreihe darstellen l�sst, also als eine unendliche Summe von Ausdr�cken, bei denen nur Potenzen des Winkels auftreten. Ist φ sehr viel kleiner als 1, was ja hier der Fall ist, stellen schon die ersten beiden Summanden dieser Potenzreihe eine sehr gute N�herung dar:

tan(φ) = φ + 1/3 · φ3

Nach Einsetzten in die obige Gleichung ergibt sich:

φ3 = 3 · (a � b) / r = 3/2 · s / r

und f�r φ:

φ = (3/2 · s / r)1/3

Ebenso l�sst sich f�r kleine Werte von φ der cos(φ) angen�hert ausdr�cken als:

cos(φ) = 1 � φ2/2

Eingesetzt in die Gleichung f�r h ergibt:

h = r · (1 / (1 � φ2/2) � 1)

Weil 1 / (1 � x) f�r x << 1 ungef�hr gleich 1 + x ist, f�hrt diese letzte N�herung zu:

h = r · (1 + φ2/2 � 1) = 1/2 · r · φ2

Das Einsetzen von φ ergibt dann die endg�ltige N�herungsformel f�r die H�he:

h = 1/2 · r · φ2 = 1/2 · r · (3/2 · s / r)2/3 = (9/32 · r · s2)1/3

F�r die H�he erh�lt man wie oben den gleichen Wert von 121,505 m. Die Abweichung zur exakten Formel ist also geringer als 1 mm. Aber diese N�herungsformel gilt nur, solange der Radius der betrachteten Kugel sehr viel gr��er ist als die Seilverl�ngerung.

Zum Schluss sei noch kurz die einfache Variante dieses R�tsels erw�hnt: Wie weit steht das Seil von der Erde ab, wenn man es nicht an einer Stelle, sondern �berall gleichm��ig und gleichzeitig hochzieht?

Der Umfang U der Erde betr�gt: U = 2 · π · r

Die L�nge L des verl�ngerten Seils ist dann: L = U + 1 m = 2 · π · r + 1 m

Nach dem Hochziehen ist das Seil wieder kreisf�rmig. Der Radius rs dieses Kreises ist:

rs = L / (2 · π) = (2 · π · r + 1 m) / (2 · π) = r + 1 m / (2 · π)

Die Differenz der beiden Radien ist dann die H�he �ber der Erdoberfl�che, in der sich das abstehende Seil �berall befindet:

rs � r = r + 1 m / (2 · π) � r = 1 m / (2 · π) = 15,9 cm

Um diese verbl�ffend gro�e Strecke von etwa 15,9 cm steht das Seil demnach �berall von der Erdoberfl�che ab. Das Ergebnis ist immer das gleiche, unabh�ngig von der Gr��e der Kugel.

Die Web-Seite Gespanntes Seil vom Nordpol zum S�dpol der Erde beschreibt ein �hnliches, aber einfacheres Mathematikr�tsel.

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