Addition von gleichen potenzen

2² + 2³

Basiswissen

2² + 2³ kann man nicht weiter vereinfachen, außer man rechnet die beiden Potenzen erst aus. Das gäbe hier im Beispiel 4+8, also letztendich 12. Daneben gibt es keine Regel, die immer funktioniert, abgesehen von einem Sonderfall. Das ist hier kurz erklärt.

Begriffe

◦ 2³ als ganzes ist eine => Potenz
◦ Die Zahl unten heißt => Basis
◦ Die Zahl oben => Exponent

Keine allgemeine Regel

◦ Angenommen man hat zwei Potenzen mit gleicher Basis.
◦ Sie sollen addiert werden. Beispiel: 2² + 2³.
◦ Dafür gibt es keine Vereinfachungsregel.
◦ Man kann nur beide Potenzen für sich ausrechnen.
◦ Dann addiert man die Teilergebnisse zusammen:
◦ 2² + 2³ wäre dann also 4+8 und gibt 12.

Sonderfall

◦ Falls die Basen und die Exponenten gleich sind ...
◦ dann kann man die zwei Potenzen zu einer zusammenfassen:
◦ 4³+4³ meint: man hat zwei mal die 4³, also: 4³+4³=2·4³
◦ Mehr unter => gleiche Potenzen addieren

Inhaltsverzeichnis Show

Basiswissen
Keine allgemeine Regel
Addieren mit Potenztermen
Rechenregeln für Potenzen
Wie addiert und subtrahiert man Potenzen?
Wie rechnet man Potenzen mit gleichen Exponenten?
Kann man verschiedene Exponenten addieren?

Addieren mit Potenztermen

Zur besseren Veranschaulichung stellen wir die Potenzen s, s² und s³ geometrisch dar.

Beispiel 1:

3s² + 2s² = 5s²

Beispiel 2

s³ + 2s³ = 3s³

Beispiel 3:

s + 2s² + 3s³ = ... nicht weiter vereinfachbar!

Addition von Potenztermen:

Es können nur Potenzen mit gleicher Grundzahl und gleicher Hochzahl miteinander addiert werden.

4x² + 5x² = 9x²

4x + 5x³ = geht nicht

4a² + 3b² = geht nicht

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Rechenregeln für Potenzen

Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung

\({0^0}...{\text{nicht definiert}}\)
\({0^{ - n}}...{\text{nicht definiert}}\)
\({0^n} = 0\)
\({a^0} = 1\)
\({a^1} = a\)
\(n \in {{\Bbb N}_u}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = - {a^{n}}\)
\(n \in {{\Bbb N}_g}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = {a^{n}}\)
\({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)

Potenzen addieren bzw. subtrahieren, wenn die Basen und die Exponenten überein stimmen

Zwei Potenzen haben den selben Wert, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Man kann in diesem Fall beim Addieren bzw. Subtrahieren die Potenz "herausheben".

\(\eqalign{ & x \cdot {a^b} + y \cdot {a^b} = (x + y) \cdot {a^b} \cr & x \cdot {a^b} - y \cdot {a^b} = (x - y) \cdot {a^b} \cr}\)

Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Basen übereinstimmen

Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Bei der Division werden die beiden Exponenten subtrahiert.

\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {a^s} = {a^{r + s}} \cr & {a^r}:{a^s} = \dfrac{{{a^r}}}{{{a^{}}}} = {a^{r - s}} \cr}\)

Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Exponenten übereinstimmen

Potenzen mit unterschiedlicher Basis aber übereinstimmenden Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert indem man das Produkt bzw. den Quotient der Basen bildet und den Exponenten unverändert übernimmt

\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {b^r} = {(a \cdot b)^r} \cr & {a^r}:{b^r} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^r} = {a^r} \cdot {b^{ - r}} \cr}\)

Potenzen potenzieren bzw. radizieren

Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten dividiert wobei die Basis unverändert bleibt.

\(\eqalign{ & {\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r \cdot s}} = {\left( {{a^s}} \right)^r} \cr & \root s \of {{a^r}} = {a^{\dfrac{r}{s}}} \cr}\)

Wie addiert und subtrahiert man Potenzen?

Das Addieren und Subtrahieren von Potenzen ist nur dann möglich, wenn die Potenzen die gleiche Basis und den gleichen Exponenten haben. Natürlich können wir, wenn die Potenzen keine Variablen enthalten, die Klammern auflösen und addieren/subtrahieren.

Wie rechnet man Potenzen mit gleichen Exponenten?

Potenzen mit gleichem Exponent Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

Kann man verschiedene Exponenten addieren?

Die Basis und der Exponent beider Potenzen müssen unterschiedlich sein. Die Potenzen müssen denselben Exponenten besitzen. Summen von Potenzen lassen sich nur zusammenfassen, wenn es sich um Zehnerpotenzen handelt. Die Potenzen müssen dieselbe Basis besitzen.