Wann hat eine Funktion eine Nullstelle?

Q: Wie erkennt man ob eine Funktion eine Nullstelle hat?

Die Nullstelle x0 einer Funktion ist die Stelle, an der ihr Graph die x-Achse schneidet. Um die Nullstellen einer Funktion f zu berechnen, suchst du die x-Werte, für die f(x) = 0 wird. Dafür setzt du die Funktion gleich 0 und löst die Gleichung nach x auf. Im Beispiel formst du also 2x – 3 = 0 nach x um.

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnet.

Inhaltsverzeichnis Show

Einordnung
Anzahl
Nullstellen berechnen
Fall: $f(x) = ax^2$
Fall: $f(x) = ax^2 + c$
Fall: $f(x) = ax^2 + bx$
Fall: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Wie erkennt man ob eine Funktion eine Nullstelle hat?
Hat jede Funktion eine Nullstelle?
Wann Funktion keine Nullstelle?

Inhaltsverzeichnis

Einordnung
Anzahl
Nullstellen berechnen
- Fall: $f(x) = ax^2$
- Fall: $f(x) = ax^2 + c$
- Fall: $f(x) = ax^2 + bx$
- Fall: $f(x) = ax^2 + bx + c$

Erforderliches Vorwissen

Was ist eine Funktion?
Was ist eine Nullstelle?
Was sind quadratische Funktionen?

Einordnung

Bei der Untersuchung von quadratischen Funktionen interessiert man sich oftmals für die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse.

In der Abbildung ist der Graph einer quadratischen Funktion eingezeichnet. Seine Schnittpunkte mit der $x$ -Achse sind rot hervorgehoben.

Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse besitzen die Koordinaten: $\text{S}_1(-2|0)$ und $\text{S}_2(2|0)$ .

Abb. 1

Die $y$ -Koordinate eines Schnittpunktes mit der $x$ -Achse ist immer Null.

Aus diesem Grund genügt es, die $x$ -Koordinate anzugeben. Diese $x$ -Koordinate hat einen speziellen Namen:

Die $x$ -Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der $x$ -Achse heißt Nullstelle.

Anzahl

Der Graph einer quadratischen Funktion hat maximal zwei Nullstellen.

Beispiel 1

Der Graph der quadratischen Funktion

$f(x) = ax^2 + c$ 5

hat zwei Nullstellen:

$f(x) = ax^2 + c$ 6

$f(x) = ax^2 + c$ 7

Abb. 2

Beispiel 2

Der Graph der quadratischen Funktion

$f(x) = ax^2 + c$ 8

hat eine Nullstelle:

$f(x) = ax^2 + c$ 9

Abb. 3

Beispiel 3

Der Graph der quadratischen Funktion

$f(x) = ax^2 + bx$ 0

hat keine Nullstelle.

Abb. 4

Nullstellen berechnen

Funktionsgleichung gleich Null setzen

Gleichung lösen

zu 1)

Da die $y$ -Koordinate eines Schnittpunktes mit der $x$ -Achse immer Null ist, lautet der Ansatz zur Berechnung einer Nullstelle: $f(x) = ax^2 + bx$ 3. Wegen $f(x) = ax^2 + bx$ 4 kann man auch $f(x) = ax^2 + bx$ 5 schreiben.

zu 2)

Wenn du weißt, wie man quadratische Gleichungen löst, kannst du auch die Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen. Das Vorgehen ist nämlich dasselbe!

Wie auch bei quadratischen Gleichungen unterscheiden wir vier Fälle:

$f(x) = ax^2$
$f(x) = ax^2 + c$
$f(x) = ax^2 + bx$
$f(x) = ax^2 + bx + c$

Fall: $f(x) = ax^2$

Funktionen vom Typ $f(x) = ax^2$ besitzen als einzige Nullstelle die Null.

Beispiel 4

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ 2.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$f(x) = ax^2 + bx + c$ 3

Gleichung lösen

$f(x) = ax^2 + bx + c$ 4

Beispiel 5

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ 5.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$f(x) = ax^2 + bx + c$ 6

Gleichung lösen

$f(x) = ax^2 + bx + c$ 4

Beispiel 6

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ 8.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$f(x) = ax^2 + bx + c$ 9

Gleichung lösen

$f(x) = ax^2 + bx + c$ 4

Fall: $f(x) = ax^2 + c$

Funktionsgleichung gleich Null setzen

Gleichung lösen

Gleichung nach $x$ 2 auflösen

Wurzel ziehen

Beispiel 7

Berechne die Nullstellen der Funktion $x$ 3.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$x$ 4

Gleichung lösen

Gleichung nach $x$ 2 auflösen

$x$ 6

Wurzel ziehen

$x$ 7

$x$ 8

$x$ 9

Beispiel 8

Berechne die Nullstellen der Funktion $x$ 0.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$x$ 1

Gleichung lösen

Gleichung nach $x$ 2 auflösen

$x$ 3

Wurzel ziehen

$x$ 4

Die Wurzel einer negativen Zahl ist (in $x$ 5) nicht definiert!
$x$ 6 Die quadratische Gleichung hat keine Lösungen und somit gibt es auch keine Nullstellen.

Fall: $f(x) = ax^2 + bx$

Funktionsgleichung gleich Null setzen

Gleichung lösen

$x$ ausklammern

Faktoren gleich Null setzen

zu 1)

Hauptkapitel: Ausklammern

zu 2)

Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt:
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Beispiel 9

Berechne die Nullstellen der Funktion $x$ 9.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$x$ 0

Gleichung lösen

$x$ ausklammern

$x$ 2

Faktoren gleich Null setzen

$x$ 3

1. Faktor

$f(x) = ax^2 + bx + c$ 4

$x$ 5

2. Faktor

$x$ 6

$x$ 7

Beispiel 10

Berechne die Nullstellen der Funktion $x$ 8.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$x$ 9

Gleichung lösen

$x$ ausklammern

$\text{S}_1(-2|0)$ 1

Faktoren gleich Null setzen

$\text{S}_1(-2|0)$ 2

1. Faktor

$f(x) = ax^2 + bx + c$ 4

$x$ 5

2. Faktor

$\text{S}_1(-2|0)$ 5

$\text{S}_1(-2|0)$ 6

Fall: $f(x) = ax^2 + bx + c$

Quadratische Gleichungen dieses Typs lösen wir mit einem der folgenden Verfahren:

Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen
Mitternachtsformel, wenn die Gleichung in allgemeiner Form vorliegt
pq-Formel, wenn die Gleichung in Normalform vorliegt
Satz von Vieta zum Lösen im Kopf, wenn die Lösungen ganzzahlig sind

Neben den oben genannten exakten Verfahren gibt es noch ein Verfahren, das Näherungslösungen produziert: Quadratische Gleichungen grafisch lösen.

Wie erkennt man ob eine Funktion eine Nullstelle hat?

Die Nullstelle x₀ einer Funktion ist die Stelle, an der ihr Graph die x-Achse schneidet. Um die Nullstellen einer Funktion f zu berechnen, suchst du die x-Werte, für die f(x) = 0 wird. Dafür setzt du die Funktion gleich 0 und löst die Gleichung nach x auf. Im Beispiel formst du also 2x – 3 = 0 nach x um.

Hat jede Funktion eine Nullstelle?

Jede lineare Funktion hat entweder eine Nullstelle oder keine Nullstelle. Funktionen, die keine Nullstelle besitzen, verlaufen parallel zur x-Achse. Diese Gerade wird die x-Achse nie schneiden.

Wann Funktion keine Nullstelle?

Das nennt sich die Diskriminante, für quadratische Funktionen (mit Parametern ax² + bx + c = f(x)), gilt folgendes: Wir definieren d(f) als die Diskriminante der Funktion f mit d(f) = b² - 4ac, dann hat f keine Nullstelle, wenn d(f) < 0, f hat eine Nullstelle falls d(f) = 0 und zwei Nullstellen wenn d(f) > 0.