Sind bei einem Rechteck die Diagonalen gleich lang?

In diesem Kapitel lernen wir, die Diagonale eines Rechtecks zu berechnen. Ein Rechteck ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Diagonale ist der Fachbegriff für die Verbindungsstrecke zwischen nicht benachbarten Ecken (Gegenecken).

• Herleitung der Formel
• Formel
• Anleitung
• Beispiele

Herleitung der Formel 

In einem allgemeinen Viereck sind die beiden Diagonalen verschieden lang und werden meist mit $e$ und $f$ bezeichnet.

In einem Rechteck sind die beiden Diagonalen gleich lang. Sie werden in der Regel einfach mit dem Buchstaben $d$ bezeichnet.

Im Folgenden schauen wir uns an, wie wir $d$ berechnen können, wenn $a$ und $b$ gegeben sind.

Die Diagonale $d$ zerlegt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke: $\triangle ABC$ und $\triangle ACD$.

$d$ ist die Hypotenuse beider Dreiecke, also die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

1. Satz des Pythagoras: $d^2 = a^2 + b^2$.
2. Wurzelziehen: $d = \sqrt{a^2+b^2}$.

Formel 

$a$, $b$ und $d$ sind Längen in derselben Maßeinheit (ggf. umrechnen!).

Anleitung 

Beispiele 

Beispiel 1 

Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit $a = 4\ \textrm{cm}$ und $b = 2\ \textrm{cm}$?

Formel aufschreiben

$$ d = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen

$$ \phantom{d} = \sqrt{(4\ \textrm{cm})^2 + (2\ \textrm{cm})^2} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{d} &= \sqrt{4^2\ \textrm{cm}^2 + 2^2\ \textrm{cm}^2} \\[5px] &= \sqrt{16\ \textrm{cm}^2 + 4\ \textrm{cm}^2} \\[5px] &= \sqrt{20\ \textrm{cm}^2} \\[5px] &= \sqrt{20} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^2} \\[5px] &= \sqrt{2^2 \cdot 5} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^2} \\[5px] &= \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^2} \\[5px] &= 2\sqrt{5}\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 4{,}47\ \textrm{cm} \end{align*} $$

Beispiel 2 

Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit $a = 5\ \textrm{m}$ und $b = 3\ \textrm{m}$?

Formel aufschreiben

$$ d = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen

$$ \phantom{d} = \sqrt{(5\ \textrm{m})^2 + (3\ \textrm{m})^2} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{d} &= \sqrt{5^2\ \textrm{m}^2 + 3^2\ \textrm{m}^2} \\[5px] &= \sqrt{25\ \textrm{m}^2 + 9\ \textrm{m}^2} \\[5px] &= \sqrt{34\ \textrm{m}^2} \\[5px] &= \sqrt{34} \cdot \sqrt{\textrm{m}^2} \\[5px] &= \sqrt{34}\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 5{,}83\ \textrm{m} \end{align*} $$

Beispiel 3 

Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit $a = 7\ \textrm{km}$ und $b = 6\ \textrm{km}$?

Formel aufschreiben

$$ d = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen

$$ \phantom{d} = \sqrt{(7\ \textrm{km})^2 + (6\ \textrm{km})^2} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{d} &= \sqrt{7^2\ \textrm{km}^2 + 6^2\ \textrm{km}^2} \\[5px] &= \sqrt{49\ \textrm{km}^2 + 36\ \textrm{km}^2} \\[5px] &= \sqrt{85\ \textrm{km}^2} \\[5px] &= \sqrt{85} \cdot \sqrt{\textrm{km}^2} \\[5px] &= \sqrt{85}\ \textrm{km} \\[5px] &\approx 9{,}22\ \textrm{km} \end{align*} $$

Schon gewusst? Die Diagonale eines Quadrats berechnet sich auf ähnliche Art und Weise.