In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Cotangens versteht. In der Schule definiert man den Cotangens erst im rechtwinkligen Dreieck für Winkel zwischen Show
Definition im rechtwinkligen DreieckDer Cotangens ist eine Winkelfunktion. Ein Verhältnis entspricht in der Mathematik dem Quotienten zweier Größen. Die Abbildung soll bei der Definition des Contangens helfen. Es gilt: Mehr über diese Begriffe erfährst du im Kapitel zu den rechtwinkligen Dreiecken. Der Cotangens ist der Kehrwert des Tangens: Im rechtwinkligen Dreieck können wir nur zeigen, dass der Cotangens für Winkel zwischen Definition im EinheitskreisZunächst wählen wir einen beliebigen Punkt Danach zeichnen wir den Winkel ein, der zwischen der Es stellt sich die Frage, welchen Wert der Tangens dieses Winkels annimmt. Wenn wir den Punkt Zur Verdeutlichung haben wir die Gegenkathete und die Ankathete des Winkels Wir wissen bereits, dass gilt:
Leider können wir an dieser Stelle noch nicht den Cotangens aus der Zeichnung ablesen. Wir müssen erst einen kleinen Trick anwenden. Wir verschieben die Ankathete solange parallel, bis sie zu einer Tangente des Kreises wird. Laut dem Strahlensatz dürfen wir die Ankathete parallel verschieben, denn dadurch ändert sich das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete nicht! …aber was hat uns diese Parallelverschiebung eigentlich gebracht? Jetzt können wir den Cotangens einfach ablesen! In der Abbildung ist schön zu erkennen, dass die Länge der Gegenkathete durch die Parallelverschiebung der Ankathete nun dem Radius des Kreises entspicht. Der Einheitskreis hat laut Definition einen Radius von
…und welche Länge hat jetzt die Ankathete? Die Länge der Ankathete entspricht der Den Punkt Cotangens nicht für alle Winkel definiert! Den Cotangens können wir auch mithilfe von Sinus und Cosinus definieren:
Warum gilt das?
In der obigen Formel haben wir die Hypotenuse herausgekürzt. Vielleicht kannst du dich noch an folgende Regel erinnern: Für Winkel, für die der Sinus gleich Null wird, ist der Cotangens nicht definiert:
Eigentlich logisch, oder? Doch wann wird der Sinus Null? Der Sinus wird für die Winkel Für diese Winkel ist der Cotangens nicht definiert! Cotangens berechnenUm Cotangenswerte mithilfe deines Taschenrechners zu berechnen, spielt es keine Rolle, ob die Winkel im Gradmaß (z. B. Die meisten handelsüblichen Taschenrechner
besitzen keine COT-Taste. Um den Cotangens zu berechnen, musst du dann rechnen: Die folgende Tabelle zeigt einige wichtige Cotangenswerte:
In der obigen Tabelle können wir eine interessante Eigenschaft beobachten: Aus bekannten oder gegebenen Cotangenswerten können wir also weitere Werte berechnen. Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes KapitelKann die Ankathete auch die Hypotenuse sein?Die Hypotenuse ist immer die längste Seite des Dreiecks und liegt gegenüber vom rechten Winkel. gilt: Ankathete: Die Seite, die am Winkel. anliegt und nicht die Hypotenuse ist.
Wie berechnet man Hypotenuse und katheten?Kennt man die Längen der beiden Katheten kann man damit die Hypotenuse berechnen. Die Formel dazu wird meistens mit der Gleichung a2 + b2 = c2 beschrieben. In Worten: Beide Katheten werden quadriert und addiert. Und dies ist genauso groß was Quadrat der Hypotenuse.
Was ist Ankathete Gegenkathete Hypotenuse?Wir erkennen, dass die Seite, die dem Winkel α direkt gegenüber liegt, die Gegenkathete ist. Und dass die Seite, die dem Winkel α anliegt die Ankathete ist. An einem Winkel im Dreieck liegen stets Ankathete und Hypotenuse an.
Wie berechnet man den Tangens?Tangens: Formeln
Auf diese Formeln kommst du durch Umformung der Grundformel tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}.
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