Genau in diesem Fall lässt sich kein Vektor der gegebenen Vektoren a1 →,a2→,...,ak→ als Linearkombination der übrigen darstellen. Show Für die Vektoren einer Ebene (V2) bzw. für die im Raum ( V3, Vektoren des Anschauungsraumes) ist der Begriff Basis für zwei nicht parallele Vektoren bzw. drei nichtkomplanare Vektoren definiert. In beiden Fällen sind die zwei bzw. drei Vektoren linear unabhängig. Eine solche Basis stellt jeweils ein minimales Erzeugendensystem für V2bzw.V3 dar. Das bedeutet auch: Minimalität eines Erzeugendensystems und lineare Unabhängigkeit seiner Elemente entsprechen einander. Anmerkung: Es werden hier nur Vektorräume mit endlich vielen Basiselementen betrachtet (der Vektorraum aller Funktionen von ℝ in ℝ hat z.B. keine endliche
Basis).
Im Folgenden werden wir einige Beispiele für Basen und Unterräume angeben. Beispiel 1: Basen im n-dimensionalen Vektorraum ℝn Die Menge B={e1→,e2→,...,en→} mit Beispiel 2: Vektorraum M(2,2) der zweireihigen Matrizen und Unterräume Betrachtet werden von den Vektorräumen
M(m,n) speziell der Vektorraum M(2,2) der zweireihigen Matrizen und Unterräume davon. Beispiel 3: Vektorraum Pn der Polynome höchstens n-ten Grades Bevor wir uns mit einem Vektorraum Pn der
Polynome höchstens n-ten Grades befassen, wird eine grundlegende Eigenschaft der Polynome bereitgestellt.
Aus der gewonnenen Darstellung für U kann man nun mit den Polynomen q1(x)=x,q2(x)=x3,q3 (x)=x5 eine Basis für U ablesen (q1,q2,q3 sind linear unabhängig, denn die Linearkombination zum „Nullpolynom“ o(x)=0, dem Nullvektor in U, ergibt nach dem Koeffizientenvergleich die Behauptung). Die Dimension des Unterraumes U von P5 ist damit 3. Die Dimension des Vektorraum P5 der Polynome höchsten fünften Grades selbst ist 6. Mit der Menge B={1,x,x2, x3,x4,x5} werden sechs Polynome pi mit pi(x)=xi;i=0,1,...,5 beschrieben, die eine Basis von P 5 bilden. Es ist hier schon einsichtig, dass die sechsdimensionalen reellen Vektorräume P5 und ℝ6 miteinander eng verwandt sind. Wann sind zwei Vektorräume gleich?Lineare Abbildungen
Zwei Vektorräume heißen isomorph, wenn es eine lineare Abbildung zwischen ihnen gibt, die bijektiv ist, also eine Umkehrfunktion besitzt. Diese Umkehrfunktion ist dann automatisch ebenfalls linear. Isomorphe Vektorräume unterscheiden sich nicht bezüglich ihrer Struktur als Vektorraum.
Wann ist die Vereinigung zweier Unterräume wieder ein Unterraum?Das funktioniert immer: Sind zwei Unterräume gegeben und ist einer davon im anderen enthalten, dann ist die Vereinigung gleich dem größeren der beiden, also wieder ein Unterraum.
Wann ist eine Menge ein Teilraum?Ein Untervektorraum, Teilvektorraum, linearer Unterraum oder linearer Teilraum ist in der Mathematik eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum darstellt. Dabei werden die Vektorraumoperationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation von dem Ausgangsraum auf den Untervektorraum vererbt.
Wie beweist man Unterräume?Satz 3.2.12 Ist U ein Unterraum von V , so ist die Relation ∼ auf V mit u ∼ v ⇔ u − v ∈ U eine ¨Aquivalenzrelation auf V . Die ¨Aquivalenz- klassen sind die affinen Unterräume U + x. Beweis Es genügt zu zeigen: u − v ∈ U ⇔ u, v ∈ U + x für ein x ∈ V .
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