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Sonstiges
Elementare Zahlentheorie
Tags: Elementare Zahlentheorie, Induktion, Sonstiges
lustigerlurch
22:11 Uhr, 26.04.2009
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Hallo ihr Lieben, mir fallen Induktionen noch immer schwer. Mittlerweile kann ich sie ja teilweise, aber
folgende bringen mich noch immer zum Aufgeben: (Ich hoffe ihr könnt mir helfen, sie zu lösen) Für n∈N0 sei 0!:=1, 1!:=1, n!:=1*2*...*n. Zeigen Sie, dass für alle n,k∈N0 mit n≥k gilt.
n!≥
k!(k+1)n−k UND: Zeigen Sie, dass n
2≤2n für alle natürlichen Zahlen n≠3. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass
der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
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pleindespoir
23:55 Uhr, 26.04.2009
Aufgabe unvollständig. Was gilt? woher kommt k und was tut es?
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lustigerlurch
23:59 Uhr, 26.04.2009
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Oh gott, ja sorry ... hab ich nicht reingeschrieben. Habs nun oben in der Aufgabe ergänzt, hoffe du
kannst mir vielleicht weiterhelfen. LG LL
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pleindespoir
00:03 Uhr, 27.04.2009
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Ich habe mich inzwischen mit dem Teil nach dem UND beschäftigt: ein schönes Bildchen mit den Funktionen erst mal,
damit man sieht, worum es geht:
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pleindespoir
00:33 Uhr, 27.04.2009
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Der Weg ist grundsätzlich der: Man mache aus der Relation erst mal eine Gleichung und berechne die
Schnittpunkte. Dann mache man eine Fallunterscheidung für alle Intervalle, die durch die Schnittpunkte entstehen.Also los gehts: n2≤2n n2=2n 2⋅log2
(n)=n⋅log22 2⋅l
og2(n)=n 1n
⋅log2(n)=12 l
og2(n)1n=12 (n)1n=212 womit ein Schnittpunkt schon mal offensichtlich wäre. Der zweite
ergibt sich durch quadrieren der Gleichung: (n)2n=222 (n)2n=2 Da es eine sogenannte transzendentale Gleichung ist, wäre man jetzt eigentlich am Ende...aber bei kleinen ganzen Zahlen darf man auch mal ein wenig
probieren: Dank der Zeichnung können wir es mal mit x=4 testen: (4)24=2 (4
)12=2 4=2 Na, hammwajagleichmaglückjehabt... Die Schnittpunkte sind also bei x=2 und x=4. Jetzt kommt die Fallunterscheidung: 1. x<2 2. x=2 3. 2<x<4 4. x=4 5.
x>4 und das machst Du jetzt selbst weiter...
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lustigerlurch
00:37 Uhr, 27.04.2009
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Hallo, klasse, vielen Dank für die Mühe. Ich probier das nun mal weiter und bei Fragen melde ich mich
morgen nochmal. Wird jetzt wahrscheinlich nicht mehr sehr produktiv bei mir werden :)
So okay, neuerTag neuer Versuch. Irgendwie find ich sieht das ganze so Induktions untypisch aus? Entweder steh ich total auf dem Schlauch oder ich kanns einfach nicht. Wieso brauch ich Schnittpunkt usw.?
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pwmeyer
10:23 Uhr, 27.04.2009
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Hallo, wenn man die Ungleichung n2≤2n mit vollständiger Induktion beweisen will, braucht man zunächst einen Induktionsanfang: Die Ungleichung gilt (vgl. Aufgabenstellung) für n=1,
n=2,n=4. Also versuchen wir die Aussage für n≥4 mit Induktion zu beweisen. Induktionsanfang (n=4) ist ok Induktionsschritt, zeige: Für n≥4:n2≤2n
⇒(n+1)2≤2n+1 Man fängt z.B. an:
(n+1)2=n2+2⋅n+1≤2n+2⋅n+1 (unter Benutzung der Induktionsvoraussetzung. Wenn man jetzt auf das Ziel schaut, braucht man die Ungleichung 2⋅n+1≤n2(≤2n, wegen der Induktionsvoraussetzung) diese kann man durch quadratische Ergänzung zeigen für n≥3. Gruß pwm
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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Wann benutzt man kleiner gleich?
Das Kleiner-oder-gleich-Zeichen wird verwendet, wenn zwei Zahlen miteinander verglichen werden und die erste Zahl wertmäßig kleiner oder gleich der zweiten Zahl ist.
Was bedeutet ist kleiner gleich?
Das Kleiner-gleich-Zeichen stellst du mit diesem Symbol dar: ≤. Du verwendest es, wenn die linke Zahl entweder kleiner ist, als die rechte Zahl, oder beide Zahlen gleich groß sind. Dann kannst du für x eine Zahl einsetzen, die unter 9 liegt.
Wann ändert sich das kleiner gleich Zeichen?
Ungleichungen werden im Prinzip genauso gerechnet, wie normale Gleichungen. Nur eine Sonderregel muss noch beachtet werden: Multipliziert oder dividiert man beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl, so tauschen sich "<" und ">" bzw. "≤" und "≥" gegeneinander aus.
Wann größer kleiner Zeichen?
Das Zeichen „Kleiner als“ (<) heißt, dass die Zahl links kleiner ist als die Zahl rechts (3 < 5). „Größer als“ (>) bedeutet, dass die linke Zahl größer ist als die rechte (5 > 3).