Auf dieser Seite werden die Summenformeln einmal "naiv" (durch geeignetes Hinschreiben) hergeleitet und durch vollst�ndige Induktion bewiesen.
Summe 1 + 2 + 3 + ... + nVon kleinen Carl Friedrich Gau� ist die Anekdote �berliefert, da� er seinen Dorfschullehrer, der die Gruppe der Kleinen f�r geraume Zeit besch�ftigen wollte, indem er sie die Summe der Zahlen von eins bis hundert ausrechnen lie�, �berraschte. Nach wenigen Augenblicken hatte Carl Friedrich die richtige L�sung parat. Ihm mu� aufgefallen sein, da� man die Zahlen sinnvoll paaren kann: Die erste mit der letzten, die zweite mit der vorletzten � immer ergibt sich dieselbe Summe, n�mlich 100+1 (allgemein n+1). Da es 50 (allgemein n/2) solcher Paare gibt, mu�te die Summe (101)�50 sein.
1 + 100 = 1012 + 99 = 1013 + 98 = 1014 + 97 = 101������ ��������� ���49 + 52 = 10150 + 51 = 1015050
Der kleine Gau� hatte damit die Summenformel entdeckt:
nΣ
i=1i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n�(n+1)2
Die Formel gilt auch f�r ungerade n. Die mittlere Zahl hat keinen Partner bei der Paarbildung. Man bildet also (n-1)/2 Paare mit der jeweiligen Summe (n+1), addiert die mittlere Zahl (n+1)/2 und kommt so ebenfalls auf diese Summenformel:
n - 12�(n + 1) + n + 1 2 = (n-1)(n+1) + n+12 = n� - 1 + n + 12 = n(n + 1)2Beweis durch vollst�ndige InduktionDas Beweisverfahren der vollst�ndigen Induktion kann man ein wenig mit dem vollst�ndigen Umfallen einer (unendlich langen) Reihe von Dominosteinen vergleichen. Damit eine solche Reihe ohne Abbruch umf�llt, m�ssen im Grunde zwei Bedingungen erf�llt sein:
(1) Man mu� einen ersten Stein umwerfen.(2) Jeder Stein mu� beim Umfallen seinen Nachfolger umwerfen.Bei der vollst�ndigen Induktion von Aussagen, deren Definitionsmenge die Menge der nat�rlichen Zahlen ist, ist es ganz �hnlich. Das Umfallen eines bestimmten Dominosteins entspricht hier der G�ltigkeit der Aussage f�r eine bestimmte nat�rliche Zahl:
(1) Die Aussage mu� f�r eine kleinste Zahl n0 gelten. Das kann man meist sehr leicht nachrechnen.(2) Aus der G�ltigkeit der Aussage f�r n mu� die G�ltigkeit f�r den Nachfolger n+1 folgen. Dies mu� allgemein (nicht mit konkreten Zahlenwerten f�r n) gezeigt werden.Wir bezeichnen die Summe der nat�rlichen Zahlen von 1 bis n mit S(n) und versuchen zu beweisen, da� S(n) = ½�n�(n+1) f�r alle n ∈ N ist.
Bedingung (1), die man auch Induktionsanfang nennt, ist schnell abgehakt. Wir berechnen die Summe der nat�rlichen Zahlen bis 1, die nat�rlich 1 ist, nach der Formel: S(1) = ½�1�(1+1) = ½�1�2 = 1. Stimmt.
F�r Bedingung (2), die man auch Induktionsschritt nennt, nehmen wir an, die Aussage gelte f�r beliebige n, d.h. S(n) = ½�n�(n+1) und S(n+1) = ½�(n+1)�(n+1+1) = ½�(n+1)�(n+2) seien korrekt.
Nun kann man die Summe der nat�rlichen Zahlen bis n+1, also S(n+1), auch berechnen, indem man die Summe der nat�rlichen Zahlen bis n nimmt und die n�chste Zahl n+1 addiert. Man kann also S(n+1) als S(n)+n+1 schreiben. Das ist sicher richtig, wenn S(n) die richtige Summe bis n angibt, und das nehmen wir ja an.
Wenn man jetzt nachweisen kann, da� S(n)+n+1 identisch mit S(n+1) nach der Formel ist, ist die Bedingung (2) erf�llt:
n(n+1) S(n) + n+1 = ������� + n+1 2 n� + n + 2n + 2 = ����������������� 2 (n+1)(n+2) = ������������ = S(n+1) J 2Damit impliziert die Richtigkeit von S(n) die Richtigkeit von S(n+1), womit die Aussage f�r alle nat�rlichen Zahlen n ≥ 1 bewiesen ist.
Die Summe der nat�rlichen Zahlen von 1 bis n n�(n + 1) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = ����������� 2 Die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n�Leider kann man die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36, usw. nicht so sch�n paaren wie die nat�rlichen Zahlen, so da� die Summenformel nicht so ohne weiteres naiv gefunden werden kann. (Es ist mir jedenfalls nicht bekannt, da� der kleinen Gau� auch diese Formel aus dem �rmel gesch�ttelt h�tte...)
Zun�chst betrachten wir die Differenzen aufeinander folgender Quadratzahlen:
n� 0149162536496481100...Differenzen: 135791113151719...Da� die Differenzen die l�ckenlose Menge der (positiven) ungeraden Zahlen bilden, ist schnell bewiesen. Man vereinfacht den Term f�r die allgemeine Differenz zwischen der Quadratzahl n� und ihrem Vorg�nger (n-1)�:
n� - (n-1)� = n� - (n� - 2n + 1) = n� - n� + 2n - 1 = 2n - 1
und erh�lt 2n-1 als Differenz zwischen (n-1)� und n�.
Der Term 2n-1 liefert f�r n∈N genau die Menge der (positiven) ungeraden Zahlen.
Nun kann man die Quadratzahl n� auch als Summe der Differenzen bis n� schreiben. 7� = 49 ist beispielsweise gleich 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13.
n� ist damit darstellbar als 1 + 3 + 5 + ... + 2n-1.
Mit diesem Wissen lassen sich die Quadratzahlen schon etwas "linearer" aufschreiben. Die Summe der Quadratzahlen bis 5� w�re damit die Summe dieser Zahlen:
9 7 7 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1 1 ��� ��� ��� ��� ��� =1� =2� =3� =4� =5�Offensichtlich befinden sich 1+2+3+4+5 Zahlen in diesem Dreieck. Die Anzahl der Zahlen in dem Dreieck f�r n� ist also die Summe der nat�rlichen Zahlen von 1 bis n: S(n), deren Formel wir oben bereits bewiesen haben.
Nun kann man leider die Zahlen im Dreieck immer noch nicht so sch�n paarweise anordnen wie die oben.
Mit folgendem Trick kommt man aber weiter. Wir ordnen die Zahlen zweimal anders an und addieren sie stellenweise auf das urspr�ngliche Dreieck. Die Summe der Zahlen in dem Dreieck, das man dadurch erh�lt, ist dann das Dreifache der gefragten Quadratsumme.
Zun�chst verschieben wir die Spalten im Dreieck so, da� das Dreieck sch�n symmetrisch wird:
9 7 7 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1 1Nun spiegeln wir die Zahlen einmal an der Seitenhalbierenden von rechts unten nach links oben und einmal an der anderen Achse:
1 1 3 1 1 3 5 3 1 1 3 5 7 5 3 1 1 3 5 7 9 7 5 3 1 1 3 5 7 9Addiert man nun stellenweise die Zahlen der drei Dreiecke, erh�lt man
1111 11
11 11 11
11 11 11 11
11 11 11 11 11
Wow!
Da� stets, d.h. in allen verdreifachten Quadratsummendreieck, �berall nur gleiche Zahlen stehen, wird im Anhang (siehe unten) bewiesen. Hier interessiert zun�chst nur, welche Zahl es ist. Betrachten wir dazu die Zahl an der Spitze. Sie ist im Beispiel die Summe aus 1+1+9. Die 9 ist die h�chste Differenz in der Darstellung von n�, die, wie wir oben gesehen hatten, gleich 2n-1 ist.
Die zwei Einsen dazu, und man erh�lt 2n+1. Tats�chlich ergibt das f�r n=5 die 11.
Wir erinnern uns nun, wieviel Zahlen im Dreieck stehen, oder z�hlen sicherheitshalber nochmal nach: Es sind 1+2+3+4+5 Elfen, also S(n) St�ck.
Das allgemeine verdreifachte Dreieck besteht also aus der n(n+1)/2 mal auftretenden Zahl 2n+1, bzw. aus S(n) mal (2n+1).
Nun hatten wir schon bemerkt, da� dies das Dreifache der gefragten Quadratsumme ist, womit man S(n)�(2n+1) einfach durch 3 teilen mu�, um die Quadratsummenformel zu erhalten:
S(n)�(2n+1) n(n+1)�(2n+1) n(n+1)(2n+1) ������������ = �������������� = ������������� 3 2 � 3 6Dies ist die Formel f�r die Summe der Quadratzahlen 1�+2�+3�+...n�.
Auch hier noch der Beweis durch vollst�ndige Induktion. Wir bezeichnen die "angebliche" Summe der Quadratzahlen 1�+2�+...+n�, wie sie die Formel zu liefern scheint, mit Q(n).
(1): Wir rechnen aus, da� Q(1) die Summe der Quadrate bis 1� ist: Q(1) = 1�2�3/6 = 1. Stimmt.
(2): Sei Q(n) richtig. Dann w�re Q(n+1) = (n+1)(n+2)(2(n+1)+1)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6
Wenn Q(n) die Summe der Quadratzahlen bis n� ist, ist Q(n)+(n+1)� sicherlich die Summe der Quadratzahlen bis (n+1)�. Wir weisen nach, da� Q(n)+(n+1)� = Q(n+1) ist:
n(n+1)(2n+1) Q(n)+(n+1)� = ������������� + (n+1)� 6 2n� + 3n� + n 6n� + 12n + 6 = ��������������� + ��������������� 6 6 2n� + 9n� + 13n + 6 = ��������������������� 6 (n+1)(n+2)(2n+3) Q(n+1) = ����������������� (siehe oben) 6 2n� + 9n� + 13n + 6 = ��������������������� 6
Damit ist die Formel bewiesen.
Die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n� n�(n + 1)�(2n + 1) 1� + 2� + 3� + 4� + ... + n� = ������������������� 6© Arndt Br�nner, 9. 10. 2004
Version: 1. 10. 2006
→ Summenformeln bis n10
→ Beweis f�r die Summe der Kubikzahlen
Beweis, da� im dreifachen Differenzendreieck an allen Stellen 2n+1 steht.
Wir numerieren die Zeilen der Differenzendreiecke von unten nach oben mit i (1 ≤ i ≤ n) und die Stelle innerhalb der Zeile mit j. Die Zahl in der i. Zeile an der j. Stelle nennen wir z(i,j).
F�r das urspr�ngliche Dreieck ist z(i,j) nur von der Zeile abh�ngig.Es ist die jeweils h�chste Differenz, also ist z(i,j) = 2i-1. 9 7 7 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1 1
Die beiden gespiegelten Dreiecke z'(i,j) und z"(i,j) betrachten wir gemeinsam, vor allem in Hinblick auf ihre Summe. Durch die Symmetrie dieser Dreiecke erh�lt man beim Addieren in jeder Zeile identische Zahlen, n�mlich 1 plus die gr��te Zahl in der Zeile. Die gr��te Zahl h�ngt von der Zeile i und von n ab. In der obersten Zeile ist es 2n-1. Da wir die Zeilen von unten bis oben numerieren, k�nnen wir leider nicht 2i-1 nehmen, denn das w�re im Beispiel f�r die oberste Zeile nicht 1, sondern 9. Wir m�ssen i durch n+1-i ersetzen, so da� wir beispielsweise in der untersten Zeile statt mit i=1 mit n rechnen und in der obersten statt mit i=5 richtig mit 5+1-5=1.
In der i. Zeile steht also �berall 2(n+1-i)-1 plus 1, also z'(i,j)+z"(i,j) = 2n-2i+2. Auch diese Zahlen h�ngen nicht mehr von der Spaltennummer ab.