Ein weiterer Beweis erfolgt über die Ähnlichkeit von Dreiecken (Bild 2).
Da im rechtwinkligen Dreieck die durch die Höhe über der Hypotenuse gebildeten Teildreiecke untereinander und dem Gesamtdreieck ähnlich
sind, gilt:
q+pa=ap,
alsoa2=p(q+p) bzw. q+pb=bp, also b2=q(q+p)
So ergibt sich durch Addition der Beziehungen:
a2+b2=(p+q
)(q+p)=c⋅c=c2
Es gibt neben den geometrischen Beweisen auch eine Reihe von arithmetischen Beweisen, z. B. den folgenden, für den man den Flächeninhalt des Trapezes berechnen können muss.
Der Beweis erfolgt durch algebraische Umformungen.
Das
rechtwinkelige Dreieck ABC (mit Katheten a, b und Hypotenuse c) ist das Grunddreieck. Nun legt man ein kongruentes (deckungsgleiches) Dreieck AED an das Grunddreieck. Verbindet man nun die Eckpunkte E und B, so entsteht ein Trapez DCBE mit den Parallelseiten a und b und der Höhe a + b. Das entstehende Dreieck ABE ist rechtwinklig und gleichschenklig.
Die Dreieck ABC und ADE sind flächeninhaltsgleich, den Flächeninhalt des Trapezes A kann man einerseits als Summe der Flächeninhalte der drei
Dreiecke berechnen:
A=2⋅A1+A2
Andererseits ist der Flächeninhalt des Trapezes A wie folgt zu berechnen:
Summe der Parallelseiten (= a + b) mal der Höhe (= a + b) dividiert durch 2. Folglich gilt:
A=12⋅(a+b)⋅(a+b)
Der Flächeninhalt A1 errechnet sich aus Kathete (a) mal Kathete (b) dividiert durch 2.
Der Flächeninhalt A2 des Dreiecks errechnet sich aus Kathete (c) mal Kathete (c) dividiert durch 2.
Fasst man nun alle Erkenntnisse zusammen und betrachtet den Flächeninhalt des Trapezes als Summe der drei Dreiecke, so erhält man folgende Beziehung:
12⋅(a+b)⋅(a+b)=2⋅12⋅a⋅b+12⋅c2
,
woraus man durch Umformungen
a2+2⋅ab+b2=c2+2
⋅ab
und schließlich a2+b2=c2 erhält.
In seinem 1940 erschienenen Buch „The Pythagorean Proposition“ hat der amerikanische Mathematiklehrer und Collegeprofessor ELISHA SCOTT LOOMIS ca. 370 Beweise zusammengetragen und klassifiziert.
Anwendungen des Satzes des Pythagoras
Mithilfe des Satzes des Pythagoras kann man zu zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte berechnen. Dies findet bei vielen Berechnungen Anwendung:
Als die Menschen begannen, privaten Landbesitz für sich zu beanspruchen, gab es direkt Streit: Wem gehört was? Wo genau befinden sich die Grenzen? Die Babylonier wollten in dieser Sache Ordnung schaffen, sie führten offensichtlich eine Art Katasteramt; die Landvermesser ritzten ihre Daten in Steintafeln. Bei der Berechnung waren sie ungeheuer genau – und nahmen dem bekannten Griechen Pythagoras seine Erfindung vorweg.
Die Trigonometrie ist mindestens 3700 Jahre alt!
In der Schule lernen wir: Pythagoras hat die Trigonometrie erfunden, dieser Name brennt sich ins Gedächtnis ein. Meistens sind die Sätze des Pythagoras bei Schülern nicht gerade positiv besetzt, doch sie helfen ungemein dabei, Dreieckswinkel zu berechnen. Eingeteilte Landflächen sind nicht immer viereckig, sie besitzen oftmals eine Dreiecksform, das bereitete den Babylonier schon vor 3.7000 Jahren keine Probleme mehr – mehr als eintausend Jahre vor dem mathematisch begabten Griechen. Den Erweis dafür erbringt die Keilschrifttafel Si.427, die seit über 100 Jahren in einem Istanbuler Museum schlummert. Niemand konnte die Inschrift bislang deuten, bis ausgerechnet ein Mathematiker einen Blick darauf warf.
Die Historie der Trigonometrie muss umgeschrieben werden
Der Mathe-Spezialist heißt Daniel Mansfield, er forscht im Auftrag der University of New South Wales. Er fasste das uralte Katasterdokument ins Auge und erkannte die berühmten trigometrischen Tripel – praktisch angewandt, um erstaunlich exakt die Daten eines Grundstücks festzuhalten. Natürlich hat niemand auf dem Stein herumgerechnet, aber auf der Vorderseite hat der Landvermesser erstaunlich exakte Linien angeordnet, die das Feld unterteilen. Die Genauigkeit lässt sich nur dadurch erklären, dass die Person die pythagoreischen Tripel verwendete, um eine genaue Übertragung hinzubekommen. Auf der Rückseite der Tafel wurde neben anderen Informationen die Größe des Grundstücks angegeben.
Mansfield erklärte, dass er schon vor ein paar Jahren eine andere Tafel entdeckt hat, die eine trigonometrische Tabelle zeigte. Trotzdem gilt noch immer die allgemeine Lehre, dass dieser Teil der Mathematik im antiken Griechenland entstand. Die Historie muss in dieser Hinsicht umgeschrieben werde.
Quelle: heise.de