Was ist der unterschied zwischen ganzrational

Bei Polynomfunktionen gibt es verschiedene Begriffe, die du kennen solltest. Betrachten wir dazu den lila Graphen aus obiger Abbildung mit der Funktionsgleichung

.

Der ganze Ausdruck wird als ganzrationale Funktion beziehungsweise Polynomfunktion 4. Grades bezeichnet, da der höchste Exponent

ist. Manchmal spricht man auch von einem Polynom der Ordnung 4. Dieser höchste Exponent entscheidet, wie die Funktion global betrachtet aussieht, und wie sie sich an den Rändern des Definitionsbereichs verhält. Die Faktoren vor den Potenzen, das heißt in diesem Falle , , , und werden Koeffizienten genannt, der Faktor vor der höchsten Potenz (hier ) heißt Leitkoeffizient. 

Merke: Ganzrationale Funktionen, die nur aus dem Leitkoeffizienten und einer Potenz bestehen, werden auch Potenzfunktionen genannt!

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Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten beschrieben werden kann. Somit können solche Funktionen ausschließlich mittels der Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation beschrieben werden. Ganzrationale Funktionen gehören zu den rationalen Funktionen und enthalten ihrerseits als Spezialfälle die linearen und quadratischen Funktionen.

Dieser Artikel beschäftigt sich hauptsächlich mit den in der Schulmathematik üblichen ganzrationalen Funktionen über den reellen Zahlen. Weiterführende Informationen zu möglichen Verallgemeinerungen des Konzepts finden sich im Artikel Polynom.

Eine ganzrationale Funktion ist eine reelle Funktion, die sich in der Gestalt

f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a2x2+a1x+a0=∑k=0nakxk{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}

schreiben lässt, wobei n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }

eine natürliche Zahl und an,an−1,…,a2,a1,a0{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dotsc ,a_{2},a_{1},a_{0}} reelle Zahlen sind und an≠0{\displaystyle a_{n}\neq 0} gilt.[1] Die Zahl n{\displaystyle n} heißt Grad der Funktion, die Zahlen an,an−1,…,a2,a1,a0{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dotsc ,a_{2},a_{1},a_{0}} sind ihre Koeffizienten. Der Koeffizient an{\displaystyle a_{n}} wird als Leitkoeffizient bezeichnet. Der Summand a0x0=a0{\displaystyle a_{0}x^{0}=a_{0}} heißt Absolutglied, die Summanden a1x{\displaystyle a_{1}x} und a2x2{\displaystyle a_{2}x^{2}} werden manchmal als lineares beziehungsweise quadratisches Glied bezeichnet.

Außerdem ist auch die reelle Funktion f(x)=0{\displaystyle f(x)=0}

eine ganzrationale Funktion; sie wird auch das Nullpolynom genannt. Auf diese Weise sind alle endlichen Summen von Summanden der Gestalt akxk{\displaystyle a_{k}x^{k}} mit beliebigen reellen Zahlen ak{\displaystyle a_{k}} ganzrationale Funktionen. Da bei der konstanten Nullfunktion keines der ak{\displaystyle a_{k}} ungleich Null ist, ist für diese ganzrationale Funktion kein Grad definiert.

Die hier angegebene Darstellung der ganzrationalen Funktion ist ihre Normalform. Beispielsweise kann man eine ganzrationale Funktion auch mittels Linearfaktoren oder mittels des Horner-Schemas darstellen.

• Die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)=−2x3+3x2−5x+4{\displaystyle f(x)=-2x^{3}+3x^{2}-5x+4}
  ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 mit den Koeffizienten −2,3,−5{\displaystyle -2,3,-5}
  und 4{\displaystyle 4}
  .
• Bei der Funktion f:R→R,x↦−2x(x−1)(x+3)2{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x(x-1)(x+3)^{2}}
  muss der Funktionsterm zunächst durch Auflösen der Klammern in eine Summe umgeschrieben werden:

f(x)=−2x(x−1)(x+3)2=(−2x2+2x)(x2+6x+9)=−2x4−10x3−6x2+18x,{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=-2x(x-1)(x+3)^{2}=(-2x^{2}+2x)(x^{2}+6x+9)\\&=-2x^{4}-10x^{3}-6x^{2}+18x,\end{aligned}}}der Grad ist also 4 und die Koeffizienten sind −2,−10,−6,18{\displaystyle -2,-10,-6,18} und 0{\displaystyle 0}.

• Bei einer ganzrationalen Funktion vom Grad 5{\displaystyle 5}
  mit den Koeffizienten −1,0,2,−2π,0,1{\displaystyle -1,0,{\sqrt {2}},-2\pi ,0,1}
  kann der Funktionsterm geschrieben werden als f(x)=−x5+2x3−2πx2+1{\displaystyle f(x)=-x^{5}+{\sqrt {2}}x^{3}-2\pi x^{2}+1}
  .

• Ohne einen definierten Grad gibt es das Nullpolynom f:R→R,x↦0{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto 0}
  , eine konstante Funktion.
• Für n=0{\displaystyle n=0}
  und a0≠0{\displaystyle a_{0}\neq 0}
  ergeben sich weitere konstante Funktionen f:R→R,x↦a0{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{0}}
  .
• Für n=1{\displaystyle n=1}
  ergeben sich lineare Funktionen f:R→R,x↦a1x+a0{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{1}x+a_{0}}
  (statt m{\displaystyle m}
  schreibt man für die Steigung hier also a1{\displaystyle a_{1}}
  , und statt n{\displaystyle n} für den y{\displaystyle y}
  -Achsenabschnitt also a0{\displaystyle a_{0}}
  ).
• Für n=2{\displaystyle n=2}
  ergeben sich quadratische Funktionen f:R→R,x↦a2x2+a1x+a0{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}
  (statt a,b{\displaystyle a,b}
  und c{\displaystyle c}
  schreibt man hier also a2{\displaystyle a_{2}}
  , a1{\displaystyle a_{1}} und a0{\displaystyle a_{0}}).
• Für n=3{\displaystyle n=3}
  ergeben sich kubische Funktionen f:R→R,x↦a3x3+a2x2+a1x+a0{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}
  .
• Für n=4{\displaystyle n=4}
  spricht man manchmal von quartischen Funktionen.
• Ist nur an≠0{\displaystyle a_{n}\neq 0} und alle anderen Koeffizienten sind gleich 0{\displaystyle 0}, so ergibt sich eine Potenzfunktion f:R→R,x↦anxn{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{n}x^{n}}
  mit natürlichem Exponenten.

Die Addition und die Multiplikation zweier ganzrationaler Funktionen ergeben wieder ganzrationale Funktionen. Somit bildet die Menge der ganzrationalen Funktionen eine Algebra über R{\displaystyle \mathbb {R} }

. Für den Grad ganzrationaler Funktionen f{\displaystyle f} und g{\displaystyle g} gelten die Abschätzung beziehungsweise Gleichheit

deg⁡(f+g)≤max(deg⁡f,deg⁡g){\displaystyle \deg(f+g)\leq \max(\deg f,\deg g)}

und

deg⁡(f⋅g)=deg⁡f+deg⁡g{\displaystyle \deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g}.

Dabei bezeichnet deg⁡f{\displaystyle \deg f}

den Grad von f{\displaystyle f}.

Außerdem ist auch die Verkettung zweier ganzrationaler Funktionen wieder eine ganzrationale Funktion, das heißt, man erhält wieder eine ganzrationale Funktion, wenn man für die Funktionsvariable eine ganzrationale Funktion einsetzt.

• Sind alle Exponenten gerade Zahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y{\displaystyle y}-Achse. Die Funktion heißt dann auch gerade; es gilt f(−x)=f(x){\displaystyle f(-x)=f(x)}
  .
• Sind alle Exponenten ungerade Zahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktion heißt dann auch ungerade; es gilt f(−x)=−f(x){\displaystyle f(-x)=-f(x)}
  .
• Treten sowohl gerade als auch ungerade Exponenten auf, so hat der Graph keine einfache Symmetrie; er kann aber dennoch symmetrisch zu anderen Achsen oder Punkten sein.

Beispiele:

• Der Graph der Funktion f:R→R,x↦−2x6+3x4−x2{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{6}+3x^{4}-x^{2}}
  ist symmetrisch zur y{\displaystyle y}-Achse (nur gerade Exponenten: 6, 4 und 2).
• Der Graph der Funktion f:R→R,x↦x7+x{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{7}+x}
  ist symmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten: 7 und 1).
• Der Graph der Funktion f:R→R,x↦x3+1{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{3}+1}
  hat keine einfache Symmetrie (ungerade und gerade Exponenten: 3 und 0), ist aber punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt W(0|1){\displaystyle W(0|1)}
  .
• Der Graph jeder ganzrationalen Funktion zweiten Grades ist achsensymmetrisch zur senkrechten Achse durch seinen Scheitelpunkt.
• Der Graph jeder ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt.

Allgemein wird das Verhalten für x→±∞{\displaystyle x\to \pm \infty }

durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten, das Verhalten für x→0{\displaystyle x\to 0} durch die Summanden mit den niedrigsten Exponenten bestimmt.

Ganzrationale Funktionen können als Linearkombinationen von Potenzen aufgefasst werden. Daher wachsen sie (für hinreichend große Werte) langsamer als jede exponentielle Funktion, deren Basis größer als 1 ist, unabhängig von den Koeffizienten.

Alle ganzrationalen Funktionen divergieren für x→±∞{\displaystyle x\to \pm \infty }. Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad n gerade oder ungerade ist, und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient an{\displaystyle a_{n}} hat; der Graph verhält sich dabei genauso wie der Graph einer Potenzfunktion mit dem Term g(x)=anxn{\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n}}

. Angegeben ist im Folgenden außerdem die daraus folgende Wertemenge W{\displaystyle \mathbb {W} } für den Fall, dass die Definitionsmenge D=R{\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} } ist.

n geraden ungeradean>0{\displaystyle a_{n}>0}Der Graph verläuft von links oben nach rechts oben, also:
f(x)→∞{\displaystyle f(x)\to \infty } für x→±∞{\displaystyle x\to \pm \infty }
W{\displaystyle \mathbb {W} } ist nach unten beschränkt (durch das absolute Minimum der Funktion).Der Graph verläuft von links unten nach rechts oben, also:
f(x)→−∞{\displaystyle f(x)\to -\infty } für x→−∞{\displaystyle x\to -\infty } und f(x)→∞{\displaystyle f(x)\to \infty } für x→∞{\displaystyle x\to \infty }
W=R{\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }.an<0{\displaystyle a_{n}<0}Der Graph verläuft von links unten nach rechts unten, also:
f(x)→−∞{\displaystyle f(x)\to -\infty } für x→±∞{\displaystyle x\to \pm \infty }
W{\displaystyle \mathbb {W} } ist nach oben beschränkt (durch das absolute Maximum der Funktion).Der Graph verläuft von links oben nach rechts unten, also:
f(x)→∞{\displaystyle f(x)\to \infty } für x→−∞{\displaystyle x\to -\infty } und f(x)→−∞{\displaystyle f(x)\to -\infty } für x→∞{\displaystyle x\to \infty }
W=R{\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }.

Alle ganzrationalen Funktionen sind für x→0{\displaystyle x\to 0} endlich. Genauer gilt: Der Graph schneidet die y{\displaystyle y}-Achse bei a0{\displaystyle a_{0}}, die Steigung an dieser Stelle ist durch a1{\displaystyle a_{1}} gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y{\displaystyle y}-Achse hat also immer die Gleichung y=a1x+a0{\displaystyle y=a_{1}x+a_{0}}

.

Der Graph der Funktion f:R→R,x↦−2x5+4x3−3x+1{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{5}+4x^{3}-3x+1}

verläuft für x→±∞{\displaystyle x\to \pm \infty } wie der Graph der Funktion g:R→R,x↦−2x5{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{5}}, also von links oben nach rechts unten (Grad n=5{\displaystyle n=5} ungerade, Leitkoeffizient a5=−2<0{\displaystyle a_{5}=-2<0}). Für die Funktionswerte gilt also: f(x)→∞{\displaystyle f(x)\to \infty } für x→−∞{\displaystyle x\to -\infty } und f(x)→−∞{\displaystyle f(x)\to -\infty } für x→∞{\displaystyle x\to \infty }. Für x→0{\displaystyle x\to 0} verläuft er dagegen wie der Graph von h(x)=−3x+1{\displaystyle h(x)=-3x+1}, er schneidet die y{\displaystyle y}-Achse also bei 1{\displaystyle 1} und hat dort die Steigung −3{\displaystyle -3}.

Als Nullstellen einer ganzrationalen Funktion f{\displaystyle f} werden jene Werte ξ{\displaystyle \xi }

bezeichnet, für die der Funktionswert null ist, das heißt, die die Gleichung f(ξ)=0{\displaystyle f(\xi )=0} erfüllen. Eine ganzrationale Funktion hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie ihr Grad angibt. Die konstante Funktion f(x)=0{\displaystyle f(x)=0}, das Nullpolynom, hat unendlich viele Nullstellen. Die ganzrationalen Funktionen vom Grad 0, nämlich die konstanten Funktionen f(x)=a{\displaystyle f(x)=a} für ein a≠0{\displaystyle a\neq 0}, haben dagegen keine Nullstellen, so wie es ihrem Grad entspricht.

Ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion als Produkt von linearen Faktoren (von denen manche auch mehrfach auftreten können) und evtl. einer ganzrationalen Funktion g ohne Nullstellen gegeben, also

f(x)=(x−x1)k1⋅(x−x2)k2⋯(x−xm)km⋅g(x),{\displaystyle f(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\dotsm (x-x_{m})^{k_{m}}\cdot g(x),}

so sind x1,x2,…,xm{\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}}

die Nullstellen. Die natürlichen Zahlen k1,k2,…,km{\displaystyle k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}} heißen die Vielfachheiten der Nullstellen.

Beispiel: Die Funktion

f:R→R,x↦−0,01⋅x3⋅(x−2)⋅(x+3)2⋅(x2+1){\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)}

hat die dreifache Nullstelle x1=0{\displaystyle x_{1}=0}

, die einfache Nullstelle x2=2{\displaystyle x_{2}=2} und die doppelte/zweifache Nullstelle x3=−3{\displaystyle x_{3}=-3}; die Faktoren −0,01{\displaystyle -0{,}01} und x2+1{\displaystyle x^{2}+1} können dagegen für kein x∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} } zu null werden, liefern also keine weiteren Nullstellen.

Die Linearfaktorzerlegung einer ganzrationalen Funktion kann man beispielsweise mit Hilfe der Polynomdivision bestimmen. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass sich so jede ganzrationale Funktion über den komplexen Zahlen in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegen lässt. Hat die Funktion nur reelle Koeffizienten, so folgt, dass mit jeder komplexen Nullstelle auch die jeweils konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle ist. Damit ergibt sich: jede ganzrationale Funktion über den reellen Zahlen kann (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als ein Produkt aus linearen und quadratischen Termen dargestellt werden.

Die Vielfachheit von Nullstellen hängt auch direkt mit den Ableitungen der Funktion zusammen: x0{\displaystyle x_{0}}

ist genau dann eine k{\displaystyle k}-fache Nullstelle von f{\displaystyle f}, wenn gilt f(x0)=f′(x0)=⋯=f(k−1)(x0)=0{\displaystyle f(x_{0})=f'(x_{0})=\dotsb =f^{(k-1)}(x_{0})=0} und f(k)(x0)≠0{\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}.

• Bei jeder Nullstelle ungerader Vielfachheit schneidet der Graph die x{\displaystyle x}
  -Achse. Die Funktionswerte wechseln dort also ihr Vorzeichen. Bei einfachen Nullstellen wird die x{\displaystyle x}-Achse in einem Winkel größer als 0° geschnitten. Bei jeder Nullstelle ungerader Vielfachheit größer gleich drei ist die Steigung an der Nullstelle 0; der Funktionsgraph hat einen Terrassenpunkt.

• Bei jeder Nullstelle gerader Vielfachheit berührt der Graph die x{\displaystyle x}-Achse. Die Funktionswerte wechseln dort also ihr Vorzeichen nicht. Bei jeder solchen Nullstelle hat der Funktionsgraph einen Extrempunkt.

Graphische Veranschaulichung:

einfache Nullstelledrei-, fünf-, 2k+1-fache Nullstelledoppelte, vier-, 2k-fache Nullstelle

Berücksichtigt man außerdem noch das Verhalten für x→±∞{\displaystyle x\to \pm \infty }, so ergibt sich für das obige Beispiel f(x)=−0,01x3(x−2)(x+3)2(x2+1){\displaystyle f(x)=-0{,}01x^{3}(x-2)(x+3)^{2}(x^{2}+1)}

folgender Graph:

Mit Hilfe der Polynomdivision kann man zeigen, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad n{\displaystyle n} höchstens n{\displaystyle n} Nullstellen haben kann (Vielfachheiten mitgezählt).

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für x→±∞{\displaystyle x\to \pm \infty }, das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel) und die Stetigkeit, so folgt außerdem: Ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die Anzahl aller Nullstellen (Vielfachheiten mitgezählt) gerade bzw. ungerade. Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von ungeradem Grad größer gleich drei hat mindestens eine Wendestelle.

Wann ist etwas Ganzrational?

Welche Zahlen sind Ganzrational?

Wie erkenne ich ob eine Funktion Ganzrational ist?

Was ist der Unterschied zwischen ganz rationalen und gebrochen rationalen Funktionen?