In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnet.
Inhaltsverzeichnis
- Einordnung
- Anzahl
- Nullstellen berechnen
- Fall: $f(x) = ax^2$
- Fall: $f(x) = ax^2 + c$
- Fall: $f(x) = ax^2 + bx$
- Fall: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist eine Nullstelle?
- Was sind quadratische Funktionen?
Einordnung
Bei der Untersuchung von quadratischen Funktionen interessiert man sich oftmals für die Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
In der Abbildung ist der Graph einer quadratischen Funktion eingezeichnet. Seine Schnittpunkte mit der $x$-Achse sind rot hervorgehoben.
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse besitzen die Koordinaten: $\text{S}_1(-2|0)$ und $\text{S}_2(2|0)$.
Abb. 1Die $y$-Koordinate eines Schnittpunktes mit der $x$-Achse ist immer Null.
Aus diesem Grund genügt es, die $x$-Koordinate anzugeben. Diese $x$-Koordinate hat einen speziellen Namen:
Die $x$-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der $x$-Achse heißt Nullstelle.
Anzahl
Der Graph einer quadratischen Funktion hat maximal zwei Nullstellen.
Beispiel 1
Der Graph der quadratischen Funktion
$f(x) = ax^2 + c$5
hat zwei Nullstellen:
$f(x) = ax^2 + c$6
$f(x) = ax^2 + c$7
Abb. 2Beispiel 2
Der Graph der quadratischen Funktion
$f(x) = ax^2 + c$8
hat eine Nullstelle:
$f(x) = ax^2 + c$9
Abb. 3Beispiel 3
Der Graph der quadratischen Funktion
$f(x) = ax^2 + bx$0
hat keine Nullstelle.
Abb. 4Nullstellen berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
zu 1)
Da die $y$-Koordinate eines Schnittpunktes mit der $x$-Achse immer Null ist, lautet der Ansatz zur Berechnung einer Nullstelle: $f(x) = ax^2 + bx$3. Wegen $f(x) = ax^2 + bx$4 kann man auch $f(x) = ax^2 + bx$5 schreiben.
zu 2)
Wenn du weißt, wie man quadratische Gleichungen löst, kannst du auch die Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen. Das Vorgehen ist nämlich dasselbe!
Wie auch bei quadratischen Gleichungen unterscheiden wir vier Fälle:
- $f(x) = ax^2$
- $f(x) = ax^2 + c$
- $f(x) = ax^2 + bx$
- $f(x) = ax^2 + bx + c$
Fall: $f(x) = ax^2$
Funktionen vom Typ $f(x) = ax^2$ besitzen als einzige Nullstelle die Null.
Beispiel 4
Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$2.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$f(x) = ax^2 + bx + c$3
Gleichung lösen
$f(x) = ax^2 + bx + c$4
Beispiel 5
Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$5.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$f(x) = ax^2 + bx + c$6
Gleichung lösen
$f(x) = ax^2 + bx + c$4
Beispiel 6
Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$8.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$f(x) = ax^2 + bx + c$9
Gleichung lösen
$f(x) = ax^2 + bx + c$4
Fall: $f(x) = ax^2 + c$
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
Gleichung nach $x$2 auflösen
Wurzel ziehen
Beispiel 7
Berechne die Nullstellen der Funktion $x$3.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$x$4
Gleichung lösen
Gleichung nach $x$2 auflösen
$x$6
Wurzel ziehen
$x$7
$x$8
$x$9
Beispiel 8
Berechne die Nullstellen der Funktion $x$0.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$x$1
Gleichung lösen
Gleichung nach $x$2 auflösen
$x$3
Wurzel ziehen
$x$4
Die Wurzel einer negativen Zahl ist (in $x$5) nicht definiert!
$x$6 Die quadratische Gleichung hat keine Lösungen und somit gibt es auch keine Nullstellen.
Fall: $f(x) = ax^2 + bx$
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
$x$ ausklammern
Faktoren gleich Null setzen
zu 1)
Hauptkapitel: Ausklammern
zu 2)
Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt:
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Beispiel 9
Berechne die Nullstellen der Funktion $x$9.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$x$0
Gleichung lösen
$x$ ausklammern
$x$2
Faktoren gleich Null setzen
$x$3
1. Faktor
$f(x) = ax^2 + bx + c$4
$x$5
2. Faktor
$x$6
$x$7
Beispiel 10
Berechne die Nullstellen der Funktion $x$8.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$x$9
Gleichung lösen
$x$ ausklammern
$\text{S}_1(-2|0)$1
Faktoren gleich Null setzen
$\text{S}_1(-2|0)$2
1. Faktor
$f(x) = ax^2 + bx + c$4
$x$5
2. Faktor
$\text{S}_1(-2|0)$5
$\text{S}_1(-2|0)$6
Fall: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Quadratische Gleichungen dieses Typs lösen wir mit einem der folgenden Verfahren:
- Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen
- Mitternachtsformel, wenn die Gleichung in allgemeiner Form vorliegt
- pq-Formel, wenn die Gleichung in Normalform vorliegt
- Satz von Vieta zum Lösen im Kopf, wenn die Lösungen ganzzahlig sind
Neben den oben genannten exakten Verfahren gibt es noch ein Verfahren, das Näherungslösungen produziert: Quadratische Gleichungen grafisch lösen.