Einleitung
Viele Anwendungen kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen.
Zeichne zuerst immer eine Skizze. Markiere den rechten Winkel und alle gegebenen Längen.
So siehst du auf den ersten Blick, welche Länge gesucht ist: eine Kathete oder die Hypotenuse.
Zur Erinnerung:
Der Satz des Pythagoras lautet
$$c^2 = a^2 + b^2$$,
wenn $$c$$ die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ist. $$a$$ und $$b$$ sind Katheten. Du rechnest mit dem Satz immer erst eine Fläche aus. Zu einer Länge gelangst du durch Wurzelziehen, z.B. $$c= sqrt (a^2 + b^2)$$.
Der Satz des Pythagoras lässt sich umstellen zu der Form
$$a^2 = c^2 - b^2$$
oder
$$b^2 = c^2 - a^2$$.
In jedem Fall wird von dem Hypotenusenquadrat das Kathetenquadrat
abgezogen.
Die Leiter
Wie hoch reicht eine 4 m lange Leiter hinauf, wenn du sie 1,5 m entfernt von der Hauswand aufstellst?
In dieser Aufgabe liegt ein rechtwinkliges Dreieck. Also
kannst du den Satz von Pythagoras anwenden, um die fehlende Seite im Dreieck zu berechnen.
Skizze:
Du siehst, dass die Hypotenuse mit 4 m und eine Kathete mit 1,5 m gegeben sind.
Lösung:
$$a^2=c^2-b^2$$
$$a^2=4^2-1,5^2$$
$$a^2=16-2,25$$
$$a^2=13,75$$ $$|sqrt( )$$
$$a approx 3,7$$ $$m$$
Am
Ende einer Anwendungsaufgabe kommt ein Antwortsatz.
Die Leiter reicht ca. 3,7 m an der Hauswand hinauf.
Bei dem Wurzelziehen kommt in den meisten Fällen eine nicht abbrechende Dezimalzahl heraus. Du rundest das Ergebnis. In dem Beispiel wurde auf eine Nachkommastelle gerundet.
Das Spielfeld
Mathias läuft beim Training 10 x diagonal über das Feld mit den Maßen 100 m mal 50 m. Legt Mathias eine längere Strecke als 1 km zurück?
Skizze:
Du siehst, dass die Hypotenuse fehlt.
Lösung:
$$c^2=a^2+b^2$$
$$c^2=100^2+50^2$$
$$c^2=10000+2500$$
$$c^2=12500$$
$$c approx 111,8$$ $$m$$
Mathias läuft die Strecke 10 Mal.
$$111,8*10=1118$$ $$m$$
$$1$$ $$km$$ $$=1000$$ $$m$$
Antwortsatz: Mathias legt mehr als 1 km zurück.
Bild: iStockphoto.com (Jenny Hill)
Noch nicht kapiert?
kapiert.dekann
mehr:
- interaktive Übungen
und Tests - individueller Klassenarbeitstrainer
- Lernmanager
Kombination von Aufgabentypen
Pythagorasaufgaben können auch mit anderen Feldern der Mathematik kombiniert werden.
Beispiel Trainingslauf
Der Trainer stellt frei, ob die Fußballer lieber 10 x diagonal über das Feld (50 m x 100 m) laufen wollen oder 4 x das Feld umrunden wollen. Um wie viel % ist der Diagonalenlauf
(10 x) kürzer als die Feldumrundung (4 x)?
Lösung:
Diagonalenlauf:
$$111,8*10=1118$$ $$m$$
Umfang des Felds:
$$U_(Feld)=50+100+50+100=300$$ $$m$$
$$4$$ x Feldumrundung:
$$300*4=1200$$ $$m$$
$$rarr$$ Berechne den Prozentsatz: $$1118$$ $$m$$ von $$1200$$ $$m$$.
Prozentwert $$PW$$: $$1118$$ $$m$$
Grundwert $$GW$$: $$1200$$ $$m$$
Prozentsatz $$p$$: ?
$$p=(PW)/(GW) * 100 = 1118/1200 *100 approx
93,2 %$$
Der Weg entlang der Diagonalen ist $$6,8%$$ kürzer.
2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras
Aufgbe 1 Vervollständige die folgende Tbelle:.8. Aufgben zum Stz des Pythgors Kthete 6 1 4 1 13 17 15 Kthete b 8 1 7 8 11 Hypotenuse c 13 9 19 17 Aufgbe Berechne jeweils die Länge der
dritten Seite: Aufgbe
Mehr
Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen
Grundlagenwissen: Sin, Cos, Tan, Sinussatz, Kosinussatz, Flächenberechnung Dreieck, Pythagoras. 1.0 Gegeben ist ein Dreieck ABC mit a 8 cm, c 10 cm, 60 1.1 Berechnen Sie die Seite b sowie die Winkel und.
Mehr
Analytische Geometrie
Analytische Geometrie Übungsaufgaben Punkte, Vektoren, Geradengleichungen Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 04 Aufgabe : Gegeben sind die Punkte O(0/0/0), A(6/6/0), B(/9/0),
Mehr
Geometrie-Dossier Ähnlichkeit
Geometrie-Doier Ähnlichkeit Name: Inhalt: Die beiden Strahlenätze (1. und 2. Strahlenatz) Löen von Aufgaben mit Hilfe der Ähnlichkeit und den Strahlenätzen Verwendung: Diee Geometriedoier orientiert ich
Mehr
Geometrie-Dossier Der Satz des Pythagoras
Geometrie-Doier Der Satz de Pythagora Name: Inhalt: Wer war
Pythagora? Der Satz de Pythagora mit Beweien Anwendung de Satz von Pythagora in der Ebene Anwendung de Satz von Pythagora im Raum Kontruktion
Mehr
Kapitel 10: Körperberechnungen 10.1 Quader
BM orkur Mathematik Kapitel 0: Körperberechnungen 0. Quader. a) l b h 6 7 68 cm l b + b h + l h (6 ) + ( 7) + (6 7) 88 cm l b h 5 5 5 5 5 cm (Würfel: k ) l b + b h + l h (5 5) + (5 5) + (5 5) 50 cm (Würfel:
Mehr
Raumgeometrie - Würfel, Quader (Rechtecksäule)
Hauptschule (Realschule) Raumgeometrie - Würfel, Quader (Rechtecksäule) 1. Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a = 4 cm. a) Zeichne das Netz des
Würfels (Abwicklung). b) Zeichne ein Schrägbild des
Mehr
Aufgaben Ähnlichkeit:
Aufgaben Ähnlichkeit: 1. Berechne die gesuchten Zahlwerte,
beziehungsweise z. a) 8 21 14 α 18 β α β b) 40 α 16 12 α 22 β β c) d) e) Geometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.doc A.Räz Seite 23 2. Berechne die
Mehr
2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen
2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen Aufgabe 1 Zeichne das Dreieck AC mit A( 1 2), (5 0) und C(3 6) und konstruiere seinen Umkreis. Gib den Radius und den Mittelpunkt des Umkreises an. Aufgabe 2 Konstruiere
Mehr
1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 8 / I I 1.0 Gib in Mengenschreibweise an: 1.1 Zur Menge M gehören alle Punkte, deren Abstand von parallelen Geraden g und h gleich ist, oder die von einem Punkt A mehr als 4 cm entfernt sind. 1.
Mehr
Formeln für Flächen und Körper
Formeln für Flächen und Körper FLÄCHENBERECHNUNG... QUADRAT... RECHTECK... 3 PARALLELOGRAMM... 3 DREIECK...
4 GLEICHSCHENKLIGES DREIECK... 5 GLEICHSEITIGES DREIECK... 6 TRAPEZ... 7 GLEICHSCHENKLIGES TRAPEZ...
Mehr
Flächenberechnung Vierecke 1
Flächenberechnung Vierecke 1 1.)Stelle für folgendes Deltoid eine Flächenformel auf! 2.) 3.) Rautenförmige Eternitplatten haben Diagonalen in der Länge von 68cm und 42cm. a)welchen Flächeninhalt hat eine
Mehr
15/16I 8 a Mathe Übungen 3 Dez. 15
15/16I 8 a Mathe Übungen 3 Dez. 15 Nr. 1: Übertrage die Tabellen in dein Heft und fülle sie aus: x 4 x - (1 - x ) - 3 x + 4 1-1 - 4 5 a b (3 a - - 9 a + 6 a b 1 3 3-1 - 4 x 4 x - (1 - x ) - 3 x + 4 = x
Mehr
Sicheres Wissen und Können zu Dreiecken 1
Sicheres Wissen und Können zu Dreiecken 1 Die Schüler
verwenden den egriff Figur für beliebige geradlinig oder krummlinig begrenzte ebene Figuren. Die Namen der Figuren sind im Denken der Schüler sowohl
Mehr
Trigonometrie - Sinussatz, Kosinussatz
Gymnasium / Realschule Trigonometrie - Sinussatz, Kosinussatz Klasse 10 1. Gemäß nebenstehender Zeichnung sind die Stücke AB = c, α und β gegeben. Stelle eine Gleichung für die Strecke AD = x in Abhängigkeit
Mehr
Teste dein Grundwissen
Teste dein Grundwissen Was bedeutet addieren Plusrechnen Minusrechnen Malnehmen Teilen Was bedeutet Plusrechnen Minusrechnen Malnehmen Teilen subtrahieren Was bedeutet Plusrechnen Minusrechnen Malnehmen
Mehr
Strahlensatz Textaufgaben
Strahlensatz Textaufgaben Realschule oder Gymnasium Klasse 9 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Januar 2015 1 Aufgabe 1:
Bestimme den Abstand der Punkte A und B. Aufgabe 2: Berechne die Entfernung
Mehr
Flächen- berechnungs- kartei
Flächen- berechnungs- kartei
Zeichne das Rechteck. Schreibe die Formel an, dann rechne aus! l = 7 cm b = 3 cm A =? 1 erstellt von Eva Truschnigg für den Wiener Bildungsserver www.lehrerweb.at - www.kidsweb.at
Mehr
Vierte Schularbeit Mathematik Klasse 3E am
Vierte Schularbeit Mathematik Klasse 3E am 22.05.2014 SCHÜLERNAME: Gruppe A Lehrer: Dr. D. B. Westra Punkteanzahl : von 24 Punkten NOTE: NOTENSCHLÜSSEL 23-24 Punkte Sehr Gut (1) 20-22 Punkte Gut (2) 16-19
Mehr
Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung
Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung 1. Von einer Strecke AB mit dem Mittelpunkt M sind bekannt: A(/5) und M(-4/3). Berechnen Sie B.. Die Punkte A(3/7) und
B(11/-1) sind gegenüberliegende Ecken eines
Mehr
Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung
Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung. Von einer Strecke AB mit dem Mittelpunkt M sind bekannt: A(/5) und M(-4/3). Berechnen Sie B.. Die Punkte A(3/7) und B(/-) sind gegenüberliegende Ecken eines
Mehr
Parallelogramme und Dreiecke A512-03
12 Parallelogramme und Dreiecke 1 10 Dreiecke 401 Berechne den Flächeninhalt der vier Dreiecke. Die Dreiecke 3 und 4 sind gleichschenklig. 4 3 2 M 12,8 cm 7,2 cm 1 9,6 cm 12 cm A 1 = A 2 = A 3 = A
4 =
Mehr
Übungsaufgaben Repetitionen
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras
Übungsaufgaben Repetitionen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn
Mehr
Aufgaben zum Basiswissen 7. Klasse
Aufgaben zum Basiswissen 7. Klasse 1. Achsen- und Punktsymmetrie 1. Aufgabe: Zeichne die Gerade g und alle weiteren Punkte ab und spiegle diese Punkte an der Geraden g und am Zentrum Z. 2. Aufgabe: Zeichne
Mehr
Proportionale und antiproportionale Zuordnungen
Proportionale und antiproportionale Zuordnungen Proportionale und antiproportionale Zuordnungen findet man in vielen Bereichen des täglichen Lebens. Zum Beispiel
beim Tanken oder beim Einkaufen. Bei proportionalen
Mehr
Strahlensätze: Aufgaben
Strahlensätze: Aufgaben 1. Zwei parallele Geraden
schneiden zwei Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt S. Berechne die in der Tabelle fehlenden Streckenlängen. a b c d (a) 5 cm 4cm 6cm (b) 3.6cm 9.2cm
Mehr
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
Mehr
Kongruenz und Symmetrie
Kongruenz und Symmetrie Kongruente Figuren Wenn Figuren genau deckungsgleich sind, nennt man sie kongruent. Sie haben gleiche Form und gleiche Größe. Es entsteht eine 1:1 Kopie. Figuren, die zwar die gleiche
Mehr
AUFGABENSAMMLUNG 9. KLASSE
AUFGABENSAMMLUNG 9. KLASSE 1. Reelle Zahlen (1) Vereinfache soweit wie möglich. Alle Variablen sind aus R +. (a) 4a 4 a + ab a b
(b) b : 7a (c) b + b + b ( 5 c 6 (d) c + ) () Schreibe ohne Wurzelzeichen
Mehr
Konstruktionen am Dreieck
Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende
halbiert den jeweiligen Innenwinkel des Dreiecks. Sie agieren als Symmetrieachse. Dadurch ist jeder Punkt der Winkelhalbierenden gleich weit von den beiden Schenkeln
Mehr
Rechtwinklige Dreiecke
Rechtwinklige Dreiecke 1. a) Verschiebe die Ecke C 1, bis du den grünen Winkel bei C 1 auf 90 schätzt. b) Verschiebe die Ecken C 2 bis C 9 ebenso, bis du die Winkel auf 90 schätzt. c) Kontrolliere deine
Mehr
Übungsaufgaben Repetitionen
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Übungsaufgaben Repetitionen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut
Mehr
Kreis und Kreisteile. - Aufgaben Teil 1 -
Am Ende der Aufgabensammlung finden Sie eine Formelübersicht. a)
Gib das Bogenmaß,3 im Gradmaß an. b) Gib das Bogenmaß im Gradmaß an. 9 c) Gib das Gradmaß 44 im Bogenmaß als Bruchteil von an. d) Gib das
Mehr
Wiederholung aus der 1. Klasse Lösungen
1) Grundrechenoperationen. Berechne und wähle das richtige Ergebnis aus. a) 2,6 + 7,9 = 105 1,05 10,5 b) 20,1 8,7 = 1,14 11,4 11,04 c) 1,38 5 = 6,9 6,09 69 d) 14,8 : 5 = 29,6 0,296 2,96 2) Was gilt für
Mehr
Geometrie-Dossier Vierecke
Geometrie-Dossier Vierecke Name: Inhalt: Vierecke: Bezeichnungen Parallelenvierecke: Ihre Form und Eigenschaften Konstruktion von Parallelenvierecken Winkelsumme in Vielecken, Flächenberechnung in Vielecken
Mehr
Übungsaufgaben Repetitionen
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Übungsaufgaben Repetitionen
Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn
Mehr
Berufsmaturitätsprüfung 2009 Mathematik
GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmaturitätsschule Berufsmaturitätsprüfung 2009 Mathematik Zeit: 180 Minuten Hilfsmittel: Formel- und Tabellensammlung ohne gelöste Beispiele, Taschenrechner
Mehr
Analytische Geometrie
Analytische Geometrie 1 Punkte und Vektoren im Raum G 1.1 Gegeben sind die Vektoren in nebenstehender Abbildung. Drücke die Vektoren AC durch a und b AB durch z und w BC durch c und d DB durch b und u
Mehr
Prisma und Pyramide 10
Prima und Pyramide 10 1 4 mathbuch 3 LU 10 Arbeitheft weitere Aufgaben «Grundanforderungen» (Löungen) Körper in Würfeln 101 Körper 1 Körper 2
Körper 3 Körper 4 Die Namen der Körper lauten: Quader Prima
Mehr
Berechnungen am Dreieck
1 Stern Berechnungen am Dreieck Ein fünfzackiger Stern, wie
abgebildet, soll völlig symmetrisch sein (alle fünf Linien sind gleich lang und alle gleichartigen Innenwinkel gleich groß) Die Gesamtlänge der
Mehr
Übungen: Trigonometrie
Übungen: Trigonometrie Polarkoordinaten 1. Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten der Punkte A(5; 45 ), B(6; 120 ), C(3,5; 310 ), D(4,8; 235 ); E(2,7; 0 ), F(3,3; 90 ), G(10; 53,13 ), H(3,16; 161,57
Mehr
Umfang und Fläche von Rechtecken
Umfang und Fläche von Rechtecken Herbert Paukert 1 Umfang und Fläche von Rechtecken Version 2.0 Herbert Paukert (1) Der Umfang von Rechtecken [02] Elemente der Geometrie [02] Fünf Übungsaufgaben [08] Das
Mehr
Schrägbilder zeichnen
Was sind Schrägbilder und welchen Zweck haben sie? Durch ein Schrägbild wird auf einer ebenen Fläche (z.b. Blatt Papier) ein Körper
räumlich dargestellt (räumliche Perspektive des Körpers). Es gibt sehr
Mehr
Qualiaufgaben Konstruktionen
Qualiaufgabe 2008 Aufgabengruppe I
Trage in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte A (-2/2) und C (1/3) ein. a) Zeichne das gleichseitige Dreieck AMC. b) Ein regelmäßiges Sechseck mit der
Mehr
Hauptprüfung 2010 Aufgabe 4
Haupprüfung Aufgabe Gegeben ind die Punke A(5//), B(//), C(//) und S(//5).. Zeigen Sie, da da Dreieck ABC rechwinklig und gleichchenklig i. Berechnen Sie die Koordinaen de Punke D o, da da Viereck ABCD
Mehr
Lösungsvorschlag. Qq r 2 F C = 1
Löungvorchlag 1. Zunächt zwei Skizzen zur Verdeutlichung der Situation: Link it da Kügelchen mit der Ladung q zu ehen. Recht it die Kugel mit der Ladung Q 1 µc an die Stelle de Kügelchen gebracht worden.
Mehr
Trigonometrische Berechnungen
Trigonometrische Berechnungen Aufgabe 1 Berechnen Sie im rechtwinkligen Dreieck die fehlenden Seiten und
Winkel: a) p = 4,93, β = 70,3 b) p = 28, q = 63 c) a = 12,5, p = 4,4 d) h = 9,1, q = 6,0 e) a =
Mehr
Umfangreichere Aufgaben (Zeichnung/Rechnung)
Umfangreichere Aufgaben (Zeichnung/Rechnung) 1. Zeichnezwei parallelegeradeng undg imabstandvon2cmundwählezwei Punkte A g und A g, die einen gegenseitigen Abstand von 3cm haben. (Hinweis: Fertige zunächst
Mehr
Raumgeometrie - schiefe Pyramide
1.0 Die Raute ABCD mit den Diagonalen AC = e und BD = f ist die Grundfläche einer schiefen Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt D der Grundfläche. Es gilt: e = 14 cm; f = 10 cm;
Mehr
Realschule Abschlussprüfung
Realschule Abschlussprüfung Annegret Sonntag 4. Januar 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Strategie zur Berechnung von
ebenen Figuren (Trigonometrie) 3 1.1 Skizze.................................................
Mehr
Wie löst man Textaufgaben Satz des Pythagoras?
Einleitung.
c^2 = a^2 + b^2, wenn c die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ist. a und b sind Katheten. Du rechnest mit dem Satz immer erst eine Fläche aus. ... .
a^2 = c^2 - b^2. oder..
b^2 = c^2 - a^2. In jedem Fall wird von dem Hypotenusenquadrat das Kathetenquadrat abgezogen..
Bei welchen Dreiecken funktioniert der Satz des Pythagoras?
Jedes rechtwinklige Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen a, bund cliefert ein pythagoreisches Zahlentripel ( a, b, c). Umgekehrt liefert jedes pythagoreische Zahlentripel ( a, b, c) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a, bund c. Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung.
Für was braucht man den Satz des Pythagoras im Alltag?
Der Satz des Pythagoras wird in der Regel benutzt, um Streckenlängen in rechtwinkligen Dreiecken auszurechnen, da man so aus zwei bekannten Längen die fehlende dritte Länge berechnen kann.