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Eine harmonische Schwingung beschreibt einen harmonischen Oszillator, der sinusförmig um seine Ruhelage schwingt. Es gibt verschiedene harmonische Oszillatoren, wie das Fadenpendel oder das Federpendel. In unserem Video erklären wir dir, durch welche Bedingungen eine harmonische Schwingung charakterisiert ist. Zusätzlich lernst du, wie eine Bewegung auf einen Kreis mit der Sinusfunktion zusammenhängt und wie die Schwingung eines Faden- und Federpendels durch eine Schwingungsgleichung beschrieben werden kann.
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- Harmonische Schwingung Definition
- Fadenpendel
- Harmonische Schwingung: Federpendel
Harmonische Schwingung Definition
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(00:13)
Eine harmonische Schwingung zeichnet sich durch eine lineare Rückstellgröße aus und kann durch eine sinusförmige Funktion beschrieben werden. Als Schwingungen, auch Oszillationen genannt, bezeichnet man allgemein zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen eines Systems. Ein schwingendes System, welches eine harmonische Schwingung ausführt, wird auch harmonischer Oszillator genannt.
Man unterscheidet verschiedene Arten von Schwingungen. Es gibt zum Beispiel periodische, nicht periodische, lineare, nichtlineare, gedämpfte oder ungedämpfte Schwingungen. Im Folgenden werden wir uns auf die Beschreibung harmonischer Schwingungen beschränken.
Eine harmonische Schwingung kann durch die folgenden zwei Bedingungen charakterisiert werden. Zum einen kann man die Bewegung eines schwingenden Körpers mit der Projektion einer Kreisbewegung beschreiben. Dies entspricht einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion, zum Beispiel
Zum anderen ist eine harmonische Schwingung durch das lineare Kraftgesetz darstellbar. Dieses besagt, dass die rücktreibende Kraft auf einen schwingenden Körper proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage und dieser entgegengesetzt ist. Dieser Zusammenhang kann durch die Formel
ausgedrückt werden. Diese Gleichung beschreibt die Rückstellkraft eines an einer Feder befestigten Körpers. Die Variable
Harmonische Schwingung Formel
Eine harmonische Schwingung wird durch die Formel
beschrieben. Hierbei repräsentiert
Harmonische Schwingung Kreisbewegung
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(01:25)
Wie oben erwähnt, kann eine harmonische Schwingung durch die Projektion einer Kreisbewegung dargestellt werden. Um die Bewegung zu veranschaulichen, geht man von einem Punkt
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KreisbewegungBewegt sich nun der Punkt gegen den Uhrzeigersinn, dann nimmt die y-Komponente des Punktes zuerst zu, bis der Vektor
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KreisbewegungIn der oberen Abbildung kann man erkennen, dass die y-Komponente durch
bestimmen.
Nachdem die y-Komponente ihr Maximum erreicht hat, nimmt diese dann ab, bis der Vektor
Geschwindigkeit und Beschleunigung einer Schwingung
Aus dem oben beschriebenen Zeit-Orts-Gesetz, welches eine harmonische Schwingung beschreibt, lässt sich durch Ableiten dieser Funktion das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz und das Zeit-Beschleunigungs-Gesetz bestimmen. Das Zeit-Orts-Gesetz ist gegeben durch
wobei
Mit der Substitution
Leitet man diese Funktion erneut ab, so führt dies auf das Zeit-Beschleunigungs-Gesetz
mit
Fadenpendel
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(03:36)
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FadenpendelDas Fadenpendel besteht aus einem Faden der Länge
Hierbei beschreibt
Aufgrund des Aktionsprinzips von Newton (2. Newtonsche Axiom ) kann die Tangentialkraft auch durch
dargestellt werden.
In unserem Fall stellt die Tangentialkraft die einzige äußere Kraft dar, so dass man folgende nichtlineare Differentialgleichung erhält
Für kleine Winkel kann der Sinus wie folgt genähert werden
Dies führt dann auf folgende Schwingungsgleichung
Die Lösung
Diese allgemeine Lösung beschreibt eine Überlagerung zweier Schwingungen und ist deshalb äquivalent zu einer Schwingung mit derselben Frequenz und einer Phasenverschiebung
Der Faktor
Harmonische Schwingung: Federpendel
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Das Federpendel besteht aus einer Feder, an dem ein Körper angebracht ist. Wird der Körper aus der Ruhelage ausgelenkt, dann beginnt er auf und ab zu schwingen. Die Bewegung des Federpendels kann im ungedämpften Fall durch die homogene Differentialgleichung
beschrieben werden und entspricht einer harmonischen Schwingung. Hierbei repräsentiert
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Zum Video: Federpendel